Квадратные трёхчлены на устном туре Турнира Городов —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Квадратные трёхчлены на устном туре Турнира Городов

Тема ТурГор (Турнир Городов)

Квадратные трёхчлены на устном туре Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81383

В множестве ${1,2,3,...,2014}$ выбрали подмножество $A.$ Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат $A,$ не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в $A?$

Источники: Турнир городов - 2014, 11.1

Показать ответ и решение

Если $p,q ∈ A$ и $2p≤ q,$ то дискриминант трехчлена $px2 +qx+ p$ неотрицательный, значит, у него есть корни. Таким образом, множество $A$ не содержит чисел, отличающихся хотя бы вдвое.

Покажем, что если в $A$ отношение любых двух чисел меньше $2,$ то все трехчлены с коэффициентами из $A$ не имеют корней. Пусть $M$ — наибольшее из чисел в $A,$ а $m$ — наименьшее. Тогда дискриминант трехчлена с коэффициентами из $A$ не больше $2 2 M − 4m < 0.$

Очевидно, что максимальное подмножество ${1,...,2014},$ в котором отношение любых двух чисел меньше $2,$ имеет мощность $1007.$ Подходит, например, ${1008,...,2014}.$