Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром , вписанная в треугольник , касается сторон и в точках и соответственно. В четырёхугольник можно вписать окружность. Найдите угол , если известно, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника . Ответ дайте в градусах.
Пусть — радиус окружности вписанной в четырёхугольник . Тогда радиус вписанной окружности треугольника равен . Если окружность с центром , вписанная в четырёхугольник , касается его стороны в точке , а стороны — в точке , то
Из прямоугольного треугольника находим, что . Тогда . Следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается стороны и продолжения сторон и треугольника причем Найдите радиус этой окружности.
Так как окружность вписана в угол то ее центр лежит на его биссектрисе, следовательно, — биссектриса
Обозначим Тогда имеем:
Так как — равнобедренный, то
Таким образом,
Следовательно, углы и являются соответственными при прямых и и секущей Тогда по признаку
Проведем Так как — равнобедренный, то — медиана.
Далее, как отрезки перпендикулярных прямых, заключенные между параллельными прямыми и Отрезок можно найти по теореме Пифагора из
Тогда искомый радиус равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается стороны и продолжений сторон треугольника Найдите радиус этой окружности.
Заметим, что треугольник — равнобедренный. Так как центр окружности равноудален от сторон угла то он лежит на биссектрисе этого угла, то есть — биссектриса
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса является также медианой и высотой. Следовательно, так как — точка касания и то точка лежит на отрезке
Далее, по двум углам. Следовательно,
Таким образом, для того, чтобы найти нужно сначала найти
По теореме Пифагора из
Тогда имеем уравнение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Катеты прямоугольного треугольника равны и , а гипотенуза равна . Докажите, что радиус вписанной окружности равен
1 способ
Рассмотрим прямоугольный , пусть . Проведем радиусы
в точки касания. Обозначим также радиус .
Рассмотрим четырехугольник . У него 3 угла прямые, следовательно, по признаку он является прямоугольником. Также соседние стороны () у него равны. Следовательно, все его стороны равны (то есть это квадрат). Таким образом, .
Значит, , . Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки к
окружности, равны, то , .
Таким образом, гипотенуза . Но с другой стороны гипотенуза равна .
Таким образом,
2 способ
Как известно, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Т.к. , , то
По теореме Пифагора , следовательно, . Сделаем преобразования:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике проведена биссектриса На стороне взята точка такая, что Докажите, что — биссектриса
Пусть Тогда по условию
Отложим на луче точку так, что Тогда как внешний угол треугольника Тогда имеем:
Таким образом, — биссектриса внешнего угла треугольника которая пересекается с биссектрисой в точке
Тогда — центр вневписанной окружности треугольника которая касается стороны Значит, является биссектрисой угла Что и требовалось доказать.
Задача на доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Пусть вписанная окружность с центром касается боковой стороны и основания равнобедренного треугольника в точках и (рис. 1), а окружность с центром касается боковой стороны , продолжения основания в точке и продолжения боковой стороны в точке Тогда — высота треугольника
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому — биссектриса угла В четырёхугольнике угол — прямой как угол между биссектрисами смежных углов и а так как то — прямоугольник, поэтому
б) Пусть радиус окружности с центром равен (рис. 2). Тогда радиус окружности с центром равен
Из прямоугольного треугольника находим, что
Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам, поэтому откуда
По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки . Следовательно,
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник Биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке а биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке
а) Докажите, что
б) Найдите если
а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому Из точек и отрезок виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром Вписанные в эту окружность углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
б) Пусть — точка на продолжении стороны за вершину Поскольку — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла при вершине треугольника и внешнего угла при вершине этого треугольника, луч — биссектриса внешнего угла при вершине т. е. угла а так как — вершина равнобедренного треугольника то (биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию). Аналогично . Тогда точка лежит на отрезке — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность с диаметром а точка — центр окружности, описанной около этой трапеции.
Пусть — высота равнобедренного треугольника а — высота трапеции Тогда
Следовательно,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямые и касаются окружности с центром ( и — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая прямые и в точках и Докажите, что величина угла не зависит от выбора третьей касательной.
Обозначим Пусть — точка касания окружности с прямой Тогда
Задача на доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается стороны треугольника в точке , а продолжений сторон и — в точках и соответственно. Вписанная окружность треугольника касается стороны в точке , а стороны — в точке . Докажите, что:
а) отрезок равен полупериметру треугольника ;
б) ;
в) .
а) Поскольку , и , то
Следовательно,
б)
в)
Задача на доказательство
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике известны стороны: , , . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые и соответственно в точках и , отличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .
Обе точки и не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки и лежат на сторонах треугольника. Четырёхугольник — вписанный, следовательно,
Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол — общий.
Пусть вписанная окружность касается стороны в точке , и — полупериметры треугольников и соответственно. Тогда
значит, коэффициент подобия треугольников равен . Следовательно,
Пусть точка лежит на продолжении стороны . Вписанные углы и равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. Значит, треугольник подобен треугольнику , так как угол — общий. Эти треугольники описаны около одной и той же окружности, следовательно, коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны, поэтому .
Заметим, что и точка действительно лежит на продолжении стороны .
Если же точка лежит на продолжении стороны , то , но аналогично предыдущему случаю получаем, что . Значит, этот случай не достигается.
И 10
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром на основании треугольника касается его боковых сторон и средней линии. Найдите основание, если боковые стороны треугольника равны и .
Рассмотрим рисунок. Пусть — основание, , , — средняя линия, — центр окружности, — точка касания со средней линией. Проведем диаметр и через точку проведем прямую, параллельную и пересекающую прямые и в точках и соответственно. Тогда — трапеция. Так как , то по теореме Фалеса , , следовательно, — средняя линия этой трапеции.
Пусть , значит, , . Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны, следовательно, . Так как , , то , , следовательно, . Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.
Пусть окружности с центрами и и радиусами и () соответственно касаются внутренним образом в точке , а радиусы и большей окружности касаются меньшей в точках и соответственно, причём .
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то , а так как линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, то
Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике , так как радиус , проведенный в точку , перпендикулярен касательной к окружности в этой точке. Тогда в прямоугольном треугольнике катет , лежащий напротив , в два раза меньше гипотенузы , то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В угол с градусной мерой вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен . Найдите радиус большей окружности.
Пусть — радиус большей окружности, и — центры маленькой и большой окружностей соответственно.
Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон данного угла. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом . Найдем острый угол .
Пусть — вершина угла, в который вписаны обе окружности. Заметим, что прямая является биссектрисой угла, в который вписаны окружности. Значит, . Прямые и параллельны, так как и . Тогда соответственные углы и , образованные параллельными прямыми и и секущей , равны, то есть .
Тогда в прямоугольном треугольнике катет , лежащий напротив угла в , в два раза меньше гипотенузы , то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, вписанная в треугольник , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне . Известно, что . Найдите сторону .
(МИОО 2013)
Пусть средняя линия, параллельная . , , , — точки касания вписанной в окружности со сторонами трапеции . Везде далее — полупериметр , — радиус вписанной окружности.
, как радиусы к точкам касания, тогда .
Пусть — высота из вершины треугольника , тогда .
Пусть — расстояние от до , — расстояние от до . Ясно, что , при этом , т.к. — средняя линия. Значит, .
Обозначим , , тогда . , , как отрезки касательных.
13 или 20.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырехугольник описан около окружности с центром Докажите, что
Если окружность вписана в многоугольник, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов этого многоугольника. Действительно, окружность вписана в угол следовательно, центр окружности лежит на биссектрисе этого угла. Аналогично можно сказать и про остальные углы.
Введем обозначения:
Сумма углов четырехугольника равна следовательно,
Из имеем:
Из имеем:
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан описанный четырехугольник c диагональю В треугольники и вписали окружности. Докажите, что эти окружности касаются и диагональ является их общей касательной.
Пусть и Пусть — вписанная окружность треугольника — вписанная окружность треугольника
По условию — описанный четырехугольник, значит, суммы длин его противоположных сторон равны, то есть
Нам нужно доказать, что окружности касаются и диагональ является их общей касательной. Мы знаем, что прямая является касательной каждой из окружностей, значит, нам достаточно доказать, что точки касания окружностей с прямой совпадают.
Пусть касается в точке а касается в точке Тогда нужно доказать, что точки и совпадают, то есть, что отрезки и равны.
Докажем лемму.
Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности,
Рассмотрим произвольный треугольник Пусть его вписанная окружность касается сторон и в точках и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому и
Тогда можем составить систему:
Вернемся к исходной задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и вписанной окружности Получим, что
Применим лемму к треугольнику и вписанной окружности
Вспомним, что так как — описанный четырехугольник. Тогда
Значит, то есть совпадает с Следовательно, окружности и касаются, а диагональ является их общей касательной.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
(МИОО 2012)
Пусть — треугольник с прямым углом при вершине . Сразу ясно, что возможны два случая: обе окружности касаются катетов либо одна из окружностей касается гипотенузы.
I случай
Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Точки , , , — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол треугольника прямой, значит, и — прямоугольники. Кроме того, , как отрезки касательных и — квадраты.
Точки и равноудалены от сторон углов с вершиной в точке точки , лежат на биссектрисах этих углов точки , , лежат на одной прямой. Окончательно по теореме Пифагора .
II случай
Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Точки , , , — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол треугольника прямой, значит, и — прямоугольники. Кроме того, , как отрезки касательных и — квадраты.
Пусть — точка пересечения прямой и отрезка . Тогда очевидно, что — прямоугольник и , , . Окончательно по теореме Пифагора .
или