Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами (двугранные углы при ребрах основания равны), то основание высоты пирамиды — центр вписанной в основание окружности. Докажем это.

Проведем , , . Тогда по ТТП , , . Следовательно, — двугранные углы при ребрах основания пирамиды. Следовательно, как прямоугольные по катету и острому углу. Отсюда , то есть — центр вписанной в окружности радиуса

, — отрезки биссектрис и .

Так как в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, то получаем равенство

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для при найденных значениях

Заметим, что , как отрезки касательных, проведенных к вписанной окружности из точек соответственно.

Если , то , , — верно.

Если , то , , — неверно.

Следовательно, . Так как то . Так как из выше приведенного равенства треугольников , то площадь боковой поверхности пирамиды равна