Тема 14. Задачи по стереометрии
14.16 Угол между плоскостями
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41319

Докажите теорему косинусов для двугранного угла:

Двугранный угол между плоскостями α  и β  , пересекающимися по прямой l  , равен ϕ.  A ∈ α  , B ∈ β  , AA1 ⊥ l  , BB1 ⊥l  . Тогда верно равенство

AB2 = AA21+ BB21 − 2⋅AA1 ⋅BB1 cosϕ + A1B12
Показать ответ и решение

Проведем в плоскости α  отрезок DB1 = AA1  , DB1 ∥ AA1  . Тогда AA1B1D  — параллелограмм, следовательно, AD  ∥l  , следовательно, AD  ⊥ (BB1D )  (l ⊥ (BB1D )  так как l ⊥ DB1,  l ⊥ BB1  ). Следовательно,          ∘
∠ADB  = 90.  Также по построению ∠BB1D  =ϕ  .

PIC

По теореме косинусов для △BB1D  :

BD2 = BB2 +DB2 − 2 ⋅BB  ⋅DB  ⋅cosϕ
        1     1       1    1

По теореме Пифагора из △ABD  :

AB2  =AD2 + BD2

Подставим первое равенство во второе, заменим DB1  на AA1  , CD  на A1B1  и получим искомое равенство.

Ответ: Доказательство

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!