Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана треугольная призма Точка — середина ребра Плоскость проходит через ребро и перпендикулярна прямой
а) Докажите, что одна из диагоналей грани равна одной из ее сторон.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости если делит ребро в отношении считая от точки и
Источники:
а) По условию Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности,
Так как — призма, то следовательно,
Рассмотрим треугольник в одноименной плоскости. Отрезок является его медианой и высотой, значит, — равнобедренный, то есть Таким образом, в грани диагональ равна стороне
б) Пусть плоскость пересекает прямую в точке прямую — в точке , прямую — в точке Заметим, что все эти три точки лежат в грани Значит, они лежат на прямой пересечения грани плоскостью
Нам нужно найти расстояние от точки до плоскости то есть длину так как а — точка пересечения и
По условию имеем:
Отсюда получаем
По условию значит, Тогда
Рассмотрим треугольники и Они подобны, так как — общий и как соответственные углы, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда имеем:
Найдем По условию — середина значит,
Треугольник — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:
Таким образом,
Отсюда Теперь можем найти длину
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды с вершиной лежит прямоугольник со сторонами и Все боковые рёбра пирамиды равны На рёбрах и отмечены точки и соответственно так, что Плоскость сечения проходит через точки и перпендикулярно ребру
а) Докажите, что плоскость сечения пересекает ребро в его середине.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости сечения.
а)
1. Проведём диагональ и отрезок которые пересекаются в точке
2. Рассмотрим и
как накрест лежащие, как накрест
лежащие и откуда и равны по двум углам и
стороне.
3. У равных треугольников равные соответствующие элементы, следовательно, Это в свою очередь означает, что точка — точка пересечения диагоналей прямоугольника в основании, то есть принадлежит плоскости сечения.
4. Рассмотрим прямоугольный По теореме Пифагора:
откуда
5. Рассмотрим По обратной теореме Пифагора: откуда получаем, что — прямоугольный.
6. Провед̈eм Тогда — средняя линия по определению, откуда — середина ребра
7. поскольку Следовательно, точка также принадлежит плоскоскости сечения, ведь эта плоскость перпендикулярна ребру Ч.Т.Д.
Для профилактики доведём построение сечения до конца.
1. Продлим прямую до точки пересечения с прямой — точки Проведём отрезок пересекающий в точке Проведём
2. Поскольку — прямоугольник, то длины противоположных сторон равны, откуда
3. Рассмотрим и и — один и тот же угол, откуда
4. Из выявленного подобия выводим отношения отрезков:
5. Запишем теорему Менелая для и секущей
Теперь мы знаем положение всех вершин сечения и его построение полностью завершено.
б)
1.
Факт: расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту плоскость.
2. Заметим, что раз и плоскости сечения, то плоскости сечения. То есть расстояния от каждой точки данной прямой до этой плоскости одинаковы.
3. Таким образом, мы можем найти расстояние от точки до плоскости сечения и автоматически найти ответ.
4. Поскольку ребро плоскости сечения, то — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость сечения (то есть его длина равна искомому расстоянию). Длина равна половине длины ребра ( — середина ), то есть
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Все ребра призмы равны между собой. Углы и равны каждый. Найдите расстояние от точки до плоскости , если площадь грани равна
Пусть ребро призмы равно Тогда
Заметим, что , следовательно, если , — середина, то , следовательно, из следует, что . Получаем, что и — квадрат. Тогда , следовательно, в стороны равны , значит, по обратной теореме Пифагора он прямоугольный и
Пусть . Тогда (как расстояние между двумя параллельными плоскостями, содержащими основания призмы). Пусть , , , , . Тогда по методу объемов
- 1.
- Найдем :
- 2.
- Найдем . . Проведем , — середина
, тогда по теореме Пиифагора
Тогда
- 3.
- Найдем . Так как прямоугольный и равнобедренный с
катетами , то
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основание наклонной призмы — квадрат, а все боковые грани призмы — равные ромбы. Углы и равны каждый. Найдите расстояние от точки до плоскости , если сторона квадрата равна 10.
и — равнобедреннные с углом , следовательно, они равносторонние, значит, — точка пересечения диагоналей квадрата, следовательно, — медиана и высота в равнобедренном , значит, . Также , следовательно, — прямоугольник со сторонами ,
Пусть . Так как боковые ребра пирамиды равны, то — центр описанной около окружности, следовательно, — точка пересечения диагоналей этого прямоугольника.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Расстояния от концов отрезка до некоторой плоскости равны 1 и 3. Чему может быть равно расстояние от середины этого отрезка до той же плоскости?
Существует два возможных варианта взаиного расположения отрезка относительно плоскости: он целиком находится по одну сторону от нее или он ее пересекает. Оба варианта изображены на рисунке. Рассмотрим каждый из них.
- 1.
- — отрезок, — его середина, — проекции
точек на плоскость. Заметим, что ,
следовательно, все точки лежат в одной плоскости, следовательно, точки
лежат на одной прямой.
Получили трапецию , в которой — средняя линия. Следовательно, она равна полусумме оснований, значит.
- 2.
- — отрезок, — точка пересечения отрезка и плоскости,
— его середина, — проекции точек на плоскость.
Заметим, что , следовательно, все точки лежат в
одной плоскости, следовательно, точки лежат на одной
прямой.
как прямоугольные по острому углу, следовательно, . Пусть , . Следовательно, , откуда
2 или 1
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На каком расстоянии от ребра правильной пирамиды с вершиной должна проходить плоскость , параллельная ребрам и , чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была максимальной?
Пусть — высота пирамиды, следовательно, так как пирамида правильная, — точка пересечения медиан .
Так как и , то Так как и , то . Аналогично для : , : , : ; . Следовательно, параллелограмм — сечение пирамиды плоскостью . Так как в правильной треугольной пирамиде ребро основания перпендикулярно противоположному ему боковому ребру, то ( — наклонная, а — ее проекция, следовательно, по ТТП из следует ). Так как то , следовательно, — прямоугольник. Пусть . Проведем . Аналогично доказательству в скобках — наклонная, — ее проекция, следовательно, из следует . Так как также , то — искомое расстояние.
Пусть , , . Тогда . , следовательно,
, следовательно,
Следовательно,
принимает максимальное значение тогда, когда принимает максимальное значение функция . Следовательно, , значит, , причем достигается это значение при . Значит, — середина Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребре правильной пирамиды объемом взята такая точка , что Расстояние от центра основания до плоскости равно Найдите площадь треугольника
Пусть Пусть — центр правильного , то есть точка пересечения его медиан (высот), тогда (которая перпендикулярна ) — наклонная, — ее проекция, следовательно, из по ТТП следует . Следовательно, перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , следовательно,
Проведем , . Тогда (пусть )
так как как прямоугольные по острому углу
Заметим, что мы доказали попутно факт:
Плоскость, проходящая через ребро тетраэдра, делит противоположное ему ребро в том же отношении, в котором она делит объем тетраэдра.
Тогда
Заметим, что какп прямоугольные по общему острому углу , следовательно,
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Плоскость , параллельная боковому ребру и ребру основания правильной пирамиды , проходит на расстоянии от ребра . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Пусть — высота пирамиды, следовательно, так как пирамида правильная, — точка пересечения медиан . Следовательно,
Так как и , то Так как и , то . Аналогично для : , : . Следовательно, параллелограмм — сечение пирамиды плоскостью . Так как в правильной треугольной пирамиде ребро основания перпендикулярно противоположному ему боковому ребру, то ( — наклонная, а — ее проекция, следовательно, по ТТП из следует ). Так как то , следовательно, — прямоугольник. Пусть . Проведем . Аналогично доказательству в скобках — наклонная, — ее проекция, следовательно, из следует . Так как также , то , следовательно,
Так как и
Так как и
Тогда площадь сечения равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребрах и куба с ребром отмечены точки и соответственно, причем , . Плоскость пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что – середина .
б) Найдите расстояние от до плоскости .
а) Чтобы построить точку , достаточно продлить прямую до пересечения с в точке , а затем пересечь с ребром куба.
с коэффициентом .
с коэффициентом .
б) Опустим перпендикуляр на , проведем отрезок . По теореме о трех перпендикулярах, из следует . Опустим перпендикуляр на . лежит в плоскости . Таким образом, перпендикулярен двум непараллельным прямым ( и ) плоскости , а значит, и самой плоскости. Осталось найти длину .
— прямоугольный, тогда его высота
— прямоугольный, тогда его высота
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании четырехугольной пирамиды лежит равнобедренная трапеция , причем
, . Угол между прямыми и равен . Известно, что –
высота пирамиды.
Найдите расстояние от точки до грани .
Так как – основания трапеции, то параллельна плоскости , в которой находится
прямая . Следовательно, расстояние от любой точки прямой до плоскости будет
одинаковым. Найдем расстояние до плоскости от точки .
Так как – высота пирамиды, то . Проведем (точка упадет на
продолжение отрезка за точку ).
Если – точка пересечения прямых и , то . Так как также
(так как трапеция равнобедренная), то равносторонний и .
Следовательно, и .
По теореме о трех перпендикулярах (заметим, что ). Тогда перпендикуляр
из точки на плоскость упадет на (в противном случае по теореме о трех
перпендикулярах проекция наклонной будет перпендикулярна и тогда
будут существовать в одной плоскости два перпендикуляра и к прямой , что
невозможно).
Таким образом, необходимо найти .
Из прямоугольного треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана треугольная пирамида причем грани и представляют собой равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине Найдите расстояние от точки до грани если высота пирамиды равна и равна
Из условия задачи следует, что:
Так как — равнобедренный, то — середина . Аналогично, .
Таким образом, перпендикуляр на плоскость упадет на прямую , поскольку в таком случае выполнена теорема о трех перпендикулярах: — проекция, — наклонная, обе перпендикулярны . Тогда — искомое расстояние.
По теореме Пифагора в :
Тогда
По теореме Пифагора в :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– правильный тетраэдр с ребром . – такие точки на ребрах соответственно, что . Плоскость пересекает ребро в точке . Найдите расстояние от точки до плоскости .
1) По условию представляет собой правильную треугольную пирамиду, все ребра которой
равны . Найдем, в каком отношении точка делит отрезок . Для этого построим сечение
пирамиды плоскостью . Продлим прямую до пересечения с прямой – получим точку
. Соединив точки и , получим линию пересечения основания – отрезок (сечением
является четырехугольник ).
По теореме Менелая для и прямой имеем:
.
Аналогично для и прямой :
.
2) Проведем и . Тогда по теореме о трех перпендикулярах , следовательно, . Найдем из треугольника . Для этого найдем и .
Проведем , тогда . Треугольник – равнобедренный (). По теореме косинусов найдем
Тогда .
Таким образом, .
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная четырехугольная пирамида с вершиной Через точку пересечения диагоналей основания провели плоскость перпендикулярно ребру Найдите расстояние от точки до плоскости если — середина а высота пирамиды равна 11.
Построим сечение пирамиды плоскостью Так как то перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в Обозначим Проведем
По теореме о трех перпендикулярах как наклонная, поскольку — проекция.
Таким образом, имеем две пересекающиеся прямые и в плоскости Значит, сечением пирамиды плоскостью является треугольник
Проведем следовательно, Так как расстояния от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одинаковы, то имеем:
Здесь буквой обозначили расстояние.
Так как по условию то проведем следовательно,
По построению — средняя линия следовательно, Тогда — средняя линия и
В имеем:
Тогда из подобия треугольников и
Тогда искомое расстояние равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребрах и куба с ребром 12 отмечены точки и соответственно, причем Плоскость пересекает ребро в точке
а) Докажите, что точка является серединой ребра
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
а) Обозначим за плоскость Продлим прямую до пересечения с прямой в точке Точка лежит в плоскости а также в плоскости Тогда и лежит в плоскости значит, точка пересечения и и есть точка
Так как то по двум углам с коэффициентом подобия, равным
Тогда
Так как то по двум углам с коэффициентом подобия, равным
Тогда имеем:
Получили, что — середина что и требовалось.
б)
Способ 1.
Пусть — объем пирамиды — искомое расстояние от точки до плоскости Заметим, что совпадает с высотой из точки на плоскость Тогда можем записать двумя способами:
По теоремам Пифагора для треугольников
По теореме косинусов для угла треугольника
Способ 2.
Произведем дополнительное построение. Пусть — основание высоты из в треугольнике а основание высоты из в треугольнике Докажем, что перпендикулярно плоскости
По теореме о трех перпендикулярах так как Тогда и перпендикулярна плоскости Тогда так как лежит в при этом по построению. Получили, что перпендикулярна прямым и из плоскости а значит перпендикулярна всей плоскости. Осталось найти длину чтобы решить задачу.
Треугольник — прямоугольный, тогда его высота равна
Аналогично для треугольника
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде точка – середина , точка – середина . Через точки и параллельно проведена плоскость .
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости , если известно, что , .
а) Построим сечение пирамиды плоскостью . Т.к. точки и являются серединами сторон, то
– средняя линия, следовательно, .
Т.к. плоскость параллельна прямой , то она пересечет грани и по прямым,
параллельным . Следовательно, .
Т.к. , , , то , причем
.
Таким образом, имеем: , , следовательно, – параллелограмм. Т.к. и – середина стороны , то по теореме Фалеса – середина ребра . Аналогично – середина ребра . Т.к. пирамида правильная, то ее боковые ребра равны, следовательно, .
Рассмотрим и : они равны по двум сторонам и углу между ними (, т.к. в основании лежит правильный треугольник; боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, т.к. пирамида правильная).
Таким образом, . То есть диагонали параллелограмма равны, следовательно, по признаку он является прямоугольником.
б) Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Т.к. , то . Также очевидно, что .
Пусть – перпендикуляр на плоскость (то есть точка ). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (, – наклонная) проекция (заметим, что ). Таким образом, мы имеем в плоскости две прямые и , которые перпендикулярны прямой , что возможно только если они параллельны. Но они не параллельны, т.к. имеют одну общую точку , значит, эти прямые совпадают, то есть точка должна лежать на прямой . Следовательно, перпендикуляр из точки на плоскость будет падать на продолжение отрезка .
Рассмотрим плоскость : , следовательно,
Найдем , , .
Т.к. – правильный, то (как высота).
Т.к. – средняя линия,то .
Т.к. и еще и медианы, а медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то . Таким образом, .
Т.к. плоскость , то . Тогда с коэффициентом . Таким образом, .
По той же причине .
Т.к. – прямоугольный, то , следовательно, .
Тогда из равенства имеем:
б)