Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких целых функция имеет период ?
Подсказка 1
Нас интересуют случаи, когда период равен 5π. Как можно выразить это условие для нашей функции?
Подсказка 2
Конечно, значения функции в точках x и x+5π будут одинаковы, так что можно приравнять значения функции. Мы получили тригонометрическое уравнение, которое приводится к виду "произведение трёх множителей = 0" (обратите внимание, что значение косинуса зависит от значения аргумента, так что тут нужно отдельно разобрать два случая). Обычно после этого достаточно просто найти, когда зануляется каждый множитель, но помните, что наша задача - не найти такие x, а выяснить, при каких n выражение зануляется для любых аргументов.
Подсказка 3
Подумайте, при всех ли x значение наших тригонометрических функций может обращаться в 0? Если мы можем выразить x через n, π и k, то можем найти и отношение х к π. Что мы можем сказать о его рациональности?
Подсказка 4
Конечно, у нас получится, что х/π — рациональное число. Но мы всегда можем подобрать такой х, что х/π будет иррациональным числом (например, х=π²). То есть при некоторых х такое выражение всегда ненулевое. Тогда остаётся выяснить, для каких множителей отношение х/π может быть иррациональным, и найти, при каких целых n они могут обращаться в 0.
Условие задачи равносильно тому, что при всех вещественных
(a) если чётно, то имеем равенство
Найдём нули первых двух косинусов
В обоих случаях отношение к рационально. Поэтому найдется такое значение при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству
которое не может быть выполнено, так как число нечетно.
(b) если нечётно, то имеем равенство
Найдём нули первых двух множителей
В обоих случаях отношение к рационально. Поэтому найдется такое значение при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству
Так как — целое, то или отсюда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!