Подсказка 1

Если так вышло, что мы смогли разрезать на квадрат 2*2 и полоски из 5 клеток, то что можно сказать про n? А если рассмотреть его по модулю 5? Тут неопытный читатель может спросить, почему именно 5? Это связано с тем, что мы как бы от нашего квадрата отрезаем полоски длины 5, значит, вычитаем каждый раз 5, и еще 5, и т.д. Значит, остаток mod 5 инвариантен. Поэтому именно по этому модулю надо рассматривать n.

Подсказка 2

Верно, что n² = 2² (mod 5), так как кол - во клеток с одной стороны это n² , с другой стороны - это сумма клеток квадрата и полосок по 5. Значит, либо n = 5k - 3, либо n = 5k + 3. Если верно последнее, то нужно еще проверить, что квадрат 2*2 примыкает к границе. Теперь, попробуйте как-то зафиксировать квадрат, то есть быть может как-то раскрасить и/или заполнить числами таблицу, чтобы числа в квадрате(цвета) были фиксированы. Иными словами, почему мы хотим так делать? Потому что у нас нет явного параметра, который сказал бы, что квадрат примыкает к таблице и мы хотим такой сделать. Что - то типа аналога координат.

Подсказка 3

Действительно, заполним первую строку единицами, вторую - двойками и т.д. Теперь нам надо посчитать по модулю 5 с двух сторон сумму чисел в таблице. Попробуйте это сделать и прийти к противоречию.

Подсказка 4

С одной стороны, так как сумма 5 подряд идущих строк кратна 5(просто потому что у нас в каждом столбце будут все остатки mod 5, а значит их сумма будет кратна 5, и таких столбцов n), а значит останутся только 3 первые строки, а сумма чисел в остальной таблице будет кратна 5. Значит, с одной стороны сумма чисел в таблице по модулю 5 - это n + 2n + 3n = n = 3 (mod 5). C другой стороны, если мы разрезаем на полоски длины 5 и квадрат, сумма в котором 1 + 1 + 2 + 2(так как он находится в первых двух строках. Ровно для этого мы и расставляли числа, чтобы зафиксировать наш квадрат где нужно) и равна 1 по модулю 5. Значит, пришли к противоречию, так как одинаковая величина имеет разный остаток при делении на 5. Значит, случай с n = 3 (mod 5) неразрешим. Остался n = 2 (mod 5). Тут уже вряд ли тоже ответ «нет», так как тогда вообще таких квадратов не бывает, но кажется такой квадрат можно подобрать, как минимум n = 2. Попробуйте для общего вида n = 2 (mod 5) привести пример.

Подсказка 5

Да, мы можем просто поставить квадрат 2*2 в левый верхний угол. Тогда, у нас оставшиеся две части первых двух строк и первых двух столбцов, по длине будут делиться на 5, а значит мы их можем разделить на полоски по 5. А с оставшейся частью таблицы что делать?