Неравенства на Всесибе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Неравенства на Всесибе

Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Неравенства на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71448

Доказать, что для любых действительных чисел $x,y,z$ из интервала $[0,1]$ выполнено неравенство

x+-y x+-z y-+z 2+ z + 2+ y + 2 +x ≤2

Источники: Всесиб-2022, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать классическое неравенство существует достаточно способов, но при переменных, заданных промежутком, можно отдельно пооценивать разные части выражения.

Подсказка 2

Рассмотрим первую дробь: в ее числителе сумма двух переменных, не превосходящих единицу, следовательно, их сумма не превосходит 2.

Подсказка 3

Перейдем к знаменателю! Здесь тоже сумма! Ваша очередь оценивать!

Подсказка 4

Теперь дробь целиком! Числитель не больше двух, знаменатель - трёх, значит, дробь не превышает 2/3.

Подсказка 5

Аналогичная оценка работает на других слагаемых нашего выражения: если каждое из них не превосходит 2/3, то их сумма не превосходит 2!

Показать доказательство

По условию, все числа неотрицательны и не превосходят 1 следует, что их попарные суммы $x+y,x+ z,y +z$ не больше 2. Заменим в знаменателе каждой дроби левой части неравенства 2 на соответствующую сумму, от чего каждый знаменатель не увеличится и неравенство усилится. Получим:

x+ y x+ z y+ z x+ y x+ z y+ z 2(x+ y+ z) 2+-z + 2+-y + 2+-x ≤x-+y-+z +x-+z+-y +y-+z+-x =-x+y-+z-= 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73445

Докажите, что для любого $x⁄= 0$ выполнено неравенство:

8 5 1 -1 x − x − x + x4 ≥0.

Источники: Всесиб-2021, 10.1(см. sesc.nsu.ru)

Показать доказательство

Приведём все дроби к общему знаменателю:

x12− x9− x3+1 -----x4------≥0.

Разложим числитель на множители:

(x9− 1)(x3− 1) -----x4-----≥ 0.

Знаменатель всегда положителен, потому что это чётная степень $x$ . Если $x< 1,$ то скобки числителя отрицательны, а значит их произведение положительно. Если $x ≥1,$ то скобки неотрицательны, значит их произведение тоже неотрицательно. Получили требуемое.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел