Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В каждой клетке квадратной таблицы размером написали по действительному числу, по модулю не превосходящему Оказалось, что сумма всех чисел равна нулю. Для какого наименьшего можно утверждать, что в какой-то строке или каком-то столбце сумма чисел заведомо окажется по модулю не превышающей
Сначала покажем, что не подойдет. Разделим таблицу на четыре квадрата Правый верхний квадрат заполним числами а левый нижний - числами Остальные клетки заполним нулями. Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце сумма равна
Теперь покажем, что подходит. Предположим, что для некоторой таблицы это не так, то есть суммы во всех её строках и столбцах оказались либо больше либо меньше Заметим, что можно менять местами строки в таблице, не нарушая это свойство и условие задачи.
Поменяем местами строки так, чтобы их суммы убывали сверху вниз. Разделим таблицу на две половины верхнюю и нижнюю. Заметим, что либо в верхней половине все строки имеют положительную сумму, либо в нижней - все отрицательную. Тогда в одной из половин сумма по модулю больше Так как общая сумма всех чисел равна нулю, то в другой половине сумма такая же по модулю и противоположная по знаку.
Теперь отсортируем столбцы так, чтобы их суммы убывали слева направо. (Суммы в строках при этом не поменяются.) Аналогично, суммы в правой и в левой половине таблицы оказались по модулю больше
Разобьем таблицу на четыре квадрата суммы в них обозначим за
Заметим, что
Это означает, что одно из чисел или по модулю превосходит Но в каждом из соответствующих квадратов всего клеток, и числа в них по модулю не превосходят Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!