Планиметрия на устном туре Турнира Городов —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Планиметрия на устном туре Турнира Городов

Тема ТурГор (Турнир Городов)

Планиметрия на устном туре Турнира Городов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тургор (турнир городов)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85508

Точки $P,Q$ лежат внутри окружности $ω$ . Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $ω$ в точках $A$ и $D$ . Окружность с центром $D$ , проходящая через $P$ и $Q$ , пересекает $ω$ в точках $B$ и $C$ . Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$ . Докажите, что $∠ACP =∠BCQ$ .

Источники: Турнир городов - 2024, весенний тур, 11.2 (см. turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Про окружность ω пока толком ничего не известно, а вот окружность с центром в D даёт сразу 4 равных отрезка (равенство радиусов) на чертеже. Посмотрите, что из этого можно взять для окружности ω.

Подсказка 2

Так как BD=DC, то дуги ВD и DC в ω равны, значит, AD — биссектриса ∠BAC.

Подсказка 3

Пусть I — точка пересечения отрезка АD и дуги BPQC, тогда по теореме о трилистнике I — центр вписанной в ΔABC окружности. Что же можно взять из этого факта, если в задаче нам нужно доказать равенство углов?

Подсказка 4

Конечно! То, что CI — биссектриса ∠BСА. Для завершения доказательства не хватает равенства ∠PCI и ∠ICQ, но это совсем несложно получить, если Вы ещё не забыли, чем по условию является AD для отрезка PQ.

Показать доказательство

$PIC$

Первое решение.

Пусть $I$ — точка пересечения отрезка $AD$ и дуги $BPQC$ . Так как $DB = DC$ , то $AD$ — биссектриса угла $BAC$ и по теореме о трилистнике $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Следовательно, $CI$ — биссектриса угла $ACB$ . С другой стороны, так как $AD −$ серединный перпендикуляр к $P Q$ , то $PI = QI$ , то есть $CI$ — биссектриса угла $PCQ$ . Из этих двух утверждений следует утверждение задачи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим $∠ACQ =α,∠QCP = β,∠PCB = γ$ . Необходимо доказать, что $γ = α$ .

Заметим, что

α+ β+ γ = ∠ACB = ∠ADB = ∠BDP +∠PDA

Далее, $∠BDP = 2∠BCP = 2γ$ , как центральный и вписанный в окружность ( $DP Q$ ), а также $∠P DA = 12∠PDQ = 12 ⋅2∠PCQ = β$ , как центральный и вписанный в окружность ( $DPQ$ ). Тогда

α+ β+ γ = ∠BDP + ∠PDA = 2γ+β

γ =α

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В условии задачи дано, что точки $P$ и $Q$ лежат не только внутри окружности $ω$ , но и внутри вписанного в неё треугольника $ABC$ . Последнее условие на самом деле излишне. Из остальных условий задачи следует, что точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$ . Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они лежат и внутри треугольника, поскольку при изогональном сопряжении три сегмента, ограниченные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла, вертикальных углам треугольника

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67558

Дан треугольник $ABC.$ Пусть $I$ — центр его вписанной окружности, $P$ — такая точка на стороне $AB,$ что угол $PIB$ прямой, $Q$ — точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A.$ Докажите, что точки $C,I,P,Q$ лежат на одной окружности.

Источники: Турнир городов - 2023, 11.4, авторы - И. Кухарчук, А.Юран

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие на угол PIB выглядит немного странно...однако он входит в состав угла AIB (I - центр вписанной окружности, так еще нам и намекают число 90) Какой угол тогда хочется сразу посчитать?

Подсказка 2

Угол AIB на 90 больше половины угла ACB, а, значит, углы ACI и AIP равны. На картинке много биссектрис, которые могут помочь нам в поисках подобных треугольников. А еще хочется как-то пользоваться равенством отрезков QA и AI(мы этого еще не делали)

Подсказка 3

Треугольники CIA и IPA подобны по трем углам, а в них как раз присутствует отрезок IA, так что можем записать, что IC/IP = AC/AI = AC/AQ. Смотрим, какие же треугольники содержат отрезки IC, IP, AC, IQ (или хотя бы часть из них, чтобы дальше работать с подобием)?

Подсказка 4

Треугольники ICP и ACQ! Становится ясно: хотим равенства углов CIP и CAQ, чтобы доказать подобие треугольников с такими же названиями, чтобы доказать равенство углов IPC и AQC. Посчитать угол QAC как внешний к половине угла BAC несложно, а угол PIC есть сумма углов AIP и AIC. Осталось лишь воспользоваться знанием про углы с вершиной I из подсказки 2 ;)

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $CI$ пересекает $AB$ в точке $N.$ Угол $AIB$ тупой, а угол $NIB$ острый, значит $P$ лежит между $A$ и $N.$ Далее, т.к. $I$ — центр вписанной окружности треугольника, получаем

∠AIP = ∠AIB − 90∘ = 1∠ACB = ∠ACI 2

∠CAI = ∠IAP

Значит, треугольники $CAI$ и $IAP$ подобны. Учитывая это и равенство $QA = AI,$ имеем

-IC-= P-I= P-I AC AI QA

Кроме того,

( ) ∠AIP + ∠AIC = 1∠ACB + 90∘+ 1∠ABC = 180∘− 1∠CAB 2 2 2

Следовательно,

∘ 1 ∘ ∠PIC = 180 − 2∠CAB =180 − ∠CAI = ∠QAC

Тогда треугольники $QAC$ и $PIC$ подобны по углу и отношению прилежащих сторон, значит $∠IPC =∠AQC =∠IQC,$ и точки $C,I,P,Q$ лежат на одной окружности.

Замечание. После доказательства подобия треугольников $CAI$ и $IAP$ можно действовать по-другому. Выберем точку $R$ на продолжении отрезка $CA$ за точку $A$ так, что $AP =AR;$ тогда треугольники $IAP$ и $QAR$ равны ( $IA= QA,AP = AR,∠QAR = ∠CAI = ∠IAP$ ). Значит, $QRP I$ — равнобокая трапеция, и она вписана. С другой стороны, поскольку $∠CIQ = ∠CIA =∠CRQ,$ точки $C,I,R,Q$ лежат на одной окружности. Значит, все пять точек $C,I,P,Q,R$ лежат на окружности $(QRI).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76582

Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA,PB$ и $P C$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?

Источники: Турнир городов - 2022, 11.2 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если поразмыслить над этой задачей, порисовать какие-то треугольники и точки Р, можно понять, что если брать точку Р очень близко к одной из вершин (допустим, к А), выполнение неравенства треугольника для РА, РВ, РС сводится к тому, что АВ и АС не могут быть сильно отличны по длине.

Подсказка 2

Конечно, мысли из первой подсказки нужно формализовать. Тогда мы придем к тому, что если условие задачи выполнено, то треугольник АВС равносторонний. Теперь для равностороннего треугольника нужно доказать, что для любой точки P условие задачи выполнено.

Подсказка 3

Доказывать это можно по-разному. Один из способов (красивый) — явно построить треугольник со сторонами, равными PA, PB и РС, используя подобия.

Показать ответ и решение

Докажем сначала, что неравносторонний треугольник под условие подходить не может. Предположим противное, пусть такой треугольник $ABC$ есть и в нём $AB ⁄= AC,$ причём длины этих сторон различаются хотя бы на $d.$

Рассмотрим точку $P,$ расположенную на перпендикуляре к плоскости $ABC,$ проходящем через точку $A,$ на расстоянии $𝜀$ от $A.$ Тогда

∘ ------- ∘ ------- PB = AB2+ 𝜀2, PC = AC2 +𝜀2

Можно выбрать $P$ настолько близко к вершине $A,$ уменьшая $𝜀,$ чтобы $PB$ и $P C$ отличались соответственно от $AB$ и $AC$ меньше, чем на $d∕3,$ и чтобы $𝜀$ было меньше $d∕3.$ Тогда стороны $PB$ и $P C$ будут различаться более чем на $d∕3,$ а длина стороны $P A$ меньше $d∕3$ — противоречие с неравенством треугольника.

Покажем теперь, что равносторонний треугольник удобен. Пусть $AB = BC =CA.$ Отметим на лучах $PA,PB,P C$ точки $A1,B1,C1$ так, чтобы выполнялись равенства:

AB ⋅P A1 = PB ⋅PC

BC ⋅PB1 = PC ⋅PA

CA ⋅PC1 = PB ⋅PA

Треугольники $APB$ и $B1P A1$ подобны по углу и отношению двух сторон, откуда

AB-⋅P-A1 A1B1 = PB = PC

Аналогично вычисляем длины остальных сторон. Получаем, что треугольник $A1B1C1$ — искомый.

Ответ:

$60∘,60∘,60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75130

Дан неравнобедренный треугольник $ABC.$ Выберем произвольную окружность $ω,$ касающуюся описанной окружности треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC.$ Отметим на $ω$ точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались $ω,$ а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC.$ Докажите, что все полученные таким образом прямые $P Q$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $ω.$

Источники: Турнир городов - 2022, 11.5 (см. www.turgor.ru)

Показать доказательство

Пусть $R$ — точка пересечения касательных $AP$ и $CQ.$ Докажем, что все прямые $PQ$ проходят через точку $D$ — основание внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$ (точка $D$ существует, так как треугольник неравнобедренный).