Тема . ТурГор (Турнир Городов)
Планиметрия на устном туре Турнира Городов
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тургор (турнир городов)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75130

Дан неравнобедренный треугольник ABC.  Выберем произвольную окружность ω,  касающуюся описанной окружности треугольника ABC  внутренним образом в точке B  и не пересекающую прямую AC.  Отметим на ω  точки P  и Q  так, чтобы прямые AP  и CQ  касались ω,  а отрезки AP  и CQ  пересекались внутри треугольника ABC.  Докажите, что все полученные таким образом прямые P Q  проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

Источники: Турнир городов - 2022, 11.5 (см. www.turgor.ru)

Показать доказательство

Пусть R  — точка пересечения касательных AP  и CQ.  Докажем, что все прямые PQ  проходят через точку D  — основание внешней биссектрисы угла B  треугольника ABC  (точка D  существует, так как треугольник неравнобедренный).

PIC

По теореме, обратной к теореме Менелая, для треугольника ARC,  достаточно проверить, что

AP-⋅ RQ-⋅ CD-= 1
PR  QC  DA

Поскольку RQ  и PR  равны как касательные, достаточно проверить равенство

AP-  AD-
QC = DC

Но по свойству внешней биссектрисы

AB   AD
BC-= DC-

Так что проверяем равенство

AP-  AB-
QC = BC

Пусть AB  и BC  пересекают окружность ω  в точках X  и Y  соответственно. Запишем степени точек A  и C  относительно окружности ω :

AX ⋅AB = AP 2,  CY ⋅CB = CQ2

Осталось проверить равенство

AX   CY
AB-= CB-

Это равенство следует из того, что ω  касается описанной окружности треугольника ABC  в точке B.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!