(1)Несколько лет тому назад в одном из своих поместий жил старинный русский барин, Кирила Петрович Троекуров. — запятая при приложении (происходит пояснение существительного другим существительным: барин (кто именно?), Кирила Петрович Троекуров)

(2)Его богатство, знатный род, связи давали ему большой вес в губерниях, где находилось его имение. — запятые при однородных членах предложения (подлежащие «богатство», «род», «связи» являются однородными, они соединены только интонацией => разделяются запятыми); запятая в сложноподчинённом предложении (перед нами две грамматические основы: «богатство, род, связи давали вес»; «имение находилось»; они связаны с помощью союзного слова «ГДЕ»)

(3)Соседи рады были угождать малейшим его прихотям, губернские чиновники трепетали при его имени. — запятая в бессоюзном сложном предложении (перед нами две грамматические основы: «соседи рады были угождать»; «чиновники трепетали»; они соединены только интонацией (союзы отсутствуют))

(4)Кирила Петрович принимал знаки подобострастия как надлежащую дань, а дом его всегда был полон гостями. — запятая в сложносочинённом предложении (перед нами две грамматические основы: «Кирила Петрович принимал»; «дом был полон»; они соединены с помощью сочинительного союза «А»)

(5)Они были готовы тешить его барскую праздность, разделяя шумные, а иногда буйные его увеселения. — запятая при деепричастном обороте (были готовы тешить (что делая?), разделяя шумные, а иногда буйные его увеселения); запятая при однородных членах предложения (определения «шумные», «буйные» являются однородными и соединены при помощи сочинительного союза «А»)

1 – приложение 

2 – однородные члены предложения; СПП 

3 – БСП

4 – ССП

5 – деепричастный оборот; однородные члены предложения