Нам будет полезен аналог целой части выражающий для двух чисел с разностью расстояние по окружности между образами этих чисел, если намотать числовую прямую на единичную окружность: будем говорить, что при и при (здесь обозначает обычную целую часть числа ). Тогда, например, если длина дуги между точками и равна то длина дуги между и равна

Для краткости точку будем обозначать просто Заметим, что точки не повторяются: если бы оказалось, что при то выполнялось бы и т.д., тогда число хорд было бы конечным. Итак, каждая новая точка попадает строго между ранее поставленными.

Определим по индукции понятие активной дуги -го шага. Для натурального будем ей считать ту из двух дуг на которую попадает . Заметим, что тогда все точки лежат на активной дуге первого шага. В самом деле, пусть все точки от 2 -й до -й лежат на активной дуге 1 -го шага, а -я там не лежит. Тогда хорды и пересекаются.

Теперь предположим, что мы уже индукцией по доказали, что все точки попадают на активную дугу -го шага при Определим активную дугу -го шага. лежит на -й активной дуге, значит делит ее на две части. На одну из этих частей попадает точка — эту часть и будем называть активной дугой -го шага. Тогда чтобы индукция работала нам осталось доказать, что все точки лежат на этой дуге при Понятно, что концы дуги — это какие-то из предыдущих точек значит есть фрагмент ломанной, соединяющий их. Значит если еще лежит на дуге, а — уже нет, и не совпадает ни с одной из предыдущих точек (что упоминалось ранее) — значит, пересекается с указанным фрагментом ломанной.

Как легко видеть, каждая следующая активная дуга является подмножеством предыдущей. Более того, обозначим через длину активной дуги, а через — длину дуги (той из двух, которая лежит внутри активной). Тогда или

(1)

Поскольку — невозрастающая последовательность положительных чисел, она имеет предел. Докажем, что этого не может быть.

Если предел равен нулю, то нулю же равен и предел последовательности поскольку Но заметим, что То есть если то Кроме того, всегда не равно нулю (иначе две точки совпали). Значит для в последовательности встречаются члены большие со сколь угодно большими номерами — ноль не является пределом.

Пусть предел равен положительному числу Тогда по последовательность разбилась на две подпоследовательности, предел одной равен нулю, предел другой — , причем по доказанному выше вторая содержит бесконечное число членов. Заметим, что — неподвижная точка преобразования Тогда аналогично если

Выберем будем говорить о числах 0 и как о двух пределах. Начиная с какого-то номера все должны попадать в -окрестность одного из двух пределов. Но тогда при переходе от к расстояние до предела будет расти в 2022 раза - рано или поздно выскочит из -окрестности текущего предела и еще не дотянется до -окрестности другого предела.