Сразу заметим, что при равенство из условия невозможно, так что далее мы везде считаем, что даже когда не напоминаем об этом явно.

Предположим, что такие многочлены и нашлись. Тогда можно считать, что они взаимнопросты (иначе поделим оба на общий множитель — новая пара тоже удовлетворяет условию), и у старший коэффициент равен 1 (домножим и на константу , чтобы старший коэффициент стал равен 1). Введем обозначение для разложения на линейные множители (естественно, воспользовавшись существованием такого разложения в комплексных числах):

Для комплексного числа множество чисел вида где , будем называть цепью числа

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ключевое утверждение:

Если — корень то числа 0 и 1 принадлежат цепи

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство.

Пусть — корень тогда обозначим через и такие минимальное и максимальное значения при которых является корнем Заметим, что и определены корректно: множество значений не пусто (поскольку 0 подходит) и конечно, поскольку у конечное число корней (первое место, в котором важно, что ). Тогда пусть не оба числа 0 и 1 лежат в цепи Тогда одно из двух чисел и не является ни 0 ни 1 (второе место: нам важно, что и — два разных числа). Рассмотрим эти два случая.

Пусть — не равно ни 0 ни 1. Посмотрим на равенство из условия

и разложим левую часть на простейшие дроби:

где степень меньше при причем

Поскольку — корень в разложение входит член со знаменателем и ненулевым числителем. Но — не корень иначе было бы корнем что противоречило бы максимальности . Тогда член со знаменателем не входит в разложение значит члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться — но он не входит в правую часть — противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, мы доказали, что если у многочлена есть комплексные корни, то в цепь этого корня входят числа 0 и 1, то есть выполняется равенство для какого-то целого . Если же у нет комплексных корней, то он - ненулевая константа, то есть и — многочлены, тогда их разность не может равняться

Осталось показать, что все значения вида где подходят. Для достаточно взять функцию

и привести сумму к общему знаменателю, числитель взять в качестве а знаменатель — Для то же самое сделать с суммой