Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности 
и 
касаются внешним образом в точке 
, а их общая внешняя касательная касается окружностей 
и 
соответственно в точках 
и 
. Прямая 
проходит через точку 
, вторично пересекает окружность 
в точке 
, а также
пересекает 
в точках 
и 
(точка 
расположена между 
и 
. Общая касательная окружностей, проходящая через точку 
,
пересекает прямые 
и 
в точках 
и 
соответственно (точка 
лежит между точками 
и 
. Известно, что
.
а) Найдите длину отрезка 
.
б) Найдите радиусы обеих окружностей.
Подсказка 1
Понятно, что этот отрезок целиком сразу мы найти не сможем. Попробуем сделать это по частям: сначала найдём HF, потом PF. У нас есть множество секущих и касательных. Тогда какую теорему можно попробовать применить для нахождения отрезков касательных?
Подсказка 2
Верно, это теорема о касательной и секущей. Отсюда сразу находим HF и остальные отрезки секущей BE. Осталось вспомнить, что отрезки касательных из одной точки равны и найти PF.
Подсказка 3
Попробуем воспользоваться идеей, что нам известен отрезок АВ и конструкция из прямоугольной трапеции. Понятно, что неизвестные радиусы можно обозначить за R и r. Тогда какое естественное уравнение мы можем уже записать для них?
Подсказка 4
Ага, можно записать теорему Пифагора. Отсюда мы получили первое уравнение на радиусы. Теперь, так как катет и гипотенуза треугольника выражены через радиусы, хочется попробовать найти значение косинуса этого угла. Попробуйте найти равенство углов, а затем вспомнить, какая теорема в треугольнике лучше всего ищет угол?
а) Трижды применяем теорему о касательной и секущей:
Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой, 
, следовательно,
. Итак, 
.
б) Пусть 
. Тогда по теореме косинусов для треугольника 
получаем 
, т.е.
, откуда 
, 
Пусть 
и 
— центры, а 
и 
— радиусы окружностей
и 
соответственно; так как окружности касаются, точка касания 
лежит на линии центров 
, и при этом 
. Углы 
и
четырёхугольника 
прямые, поэтому 
.
Рассмотрим прямоугольную трапецию 
. В ней 
. Опуская из точки 
высоту 
на основание 
, получаем прямоугольный треугольник 
, в котором 
. По теореме
Пифагора получаем
Кроме того,
Находим, что
а) 
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
