Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Остроугольный треугольник вписан в окружность с центром О. Окружность, проходящая через точки и , пересекает отрезок в точке . Касательные к , проведённые через точки и , пересекаются в точке . Отрезок пересекает сторону в точке . Известно, что площади треугольников и равны соответственно и .
а) Найдите площадь треугольника .
б) Пусть дополнительно известно, что . Найдите .
a) Так как прямые и - касательные к , они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и . Отсюда следует, что точки и лежат на окружности с диаметром (назовём эту окружность ). На этой же окружности лежит точка , поскольку она лежит на окружности, проходящей через точки . Обозначим . Тогда по свойству угла между хордой и касательной получаем, что . Далее, (углы, вписанные в окружность ). Из того, что , следует, что .
Так как у треугольников и общая высота, проведённая из вершины , их площади относятся как основания, т.е. . Треугольники и подобны, поскольку , и коэффициент подобия равен . Но тогда
б) Поскольку острый, то (центральный угол вдвое больше вписанного), (вписанные в углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, биссектриса треугольника (также можно заметить, что , как вписанные и как угол между касательной и хордой соответственно). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому . Пусть ; тогда
Из дополнительного условия . Следовательно,
Площадь треугольника равна , откуда получаем , . По теореме косинусов из треугольника находим, что , откуда окончательно получаем .
Решён пункт а) – 4 балла;
частичные продвижения за пункт а):
доказано, что 𝑃𝐾 ‖ 𝐴𝐵 – 2 балла;
доказано, что четырёхугольник 𝐴𝑂𝐶𝑇 вписанный – 1 балл (не суммируется с вышеуказанными 2 баллами).
Решён пункт б) – 3 балла;
частичные продвижения за пункт б):
доказано, что 𝑃𝐾 – биссектриса треугольника 𝐴𝑃 𝐶 – 1 балл.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!