Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12345.
Источники:
Подсказка 1
Давайте сначала попробуем понять, а какие степени десятки вообще могли быть, попробуйте перебирать разные случаи и посмотреть, какие точно не могли выполнятся.
Подсказка 2
Верно, степень десятки либо равна 5, либо 6, иначе сумма остатков будет слишком большой или маленькой. Дальше удобно обозначить каждую цифру числа за переменную и записать сумму остатков от деления числа в столбик, тогда нам будет удобно рассуждать о возможных значениях цифр.
Подсказка 3
Не забывайте, что если сумма цифр при сложении в столбик равна 5, то она именно 5, потому как мы всегда берём остаток по модулю 10, когда считаем в столбик, поэтому надо рассматривать ещё случаи, когда она равна 15, 25.
Подсказка 4
Во всех случаях мы найдём какие-то условия на цифры, а некоторые останутся "свободными", т.е. мы можем подставить вместо них любую цифру, причём все эти случаи не пересекаются, и мы можем спокойно их складывать.
Пусть искомое число есть . Определим, какой может быть максимальная степень десятки, на которую происходит деление. Возможны несколько случаев:
1) если максимальная степень десятки равна или меньше, то сумма остатков меньше , что меньше
2) если максимальная степень десятки равна или больше, то сумма остатков не меньше , что больше
3) максимальная степень десятки равна или . Эти случаи возможны.
3.1) Пусть максимальная степень десятки равна . Тогда остатки от деления на равны соответственно , и сумма остатков есть
где
Рассмотрим уравнение . Так как , то либо , либо
Если , то получаем
Поэтому делится на При этом , так как Поэтому , откуда . То есть число имеет вид . Таких чисел
Если , то
Поэтому либо , либо . Если , то , что невозможно. Если , то , откуда . То есть число имеет вид . Таких чисел 90.
3.2) Пусть максимальная степень десятки равна . Тогда остатки от деления на равны соответственно , . И сумма остатков есть
где
Рассмотрим уравнение
Это равенство возможно только при . Значит, , откуда , то есть число имеет вид . Таких чисел
Значит, искомое количество семизначных чисел есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!