Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр
находится в точке 
. Найдите количество таких квадратов.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте сместить оси координат в центр квадрата. Что тогда можно сказать про координаты его вершин?
Подсказка 2
Да, мы поняли, что координаты его вершин имеют вид (a,b),(-b,a),(-a,b),(b,-a). Но это при смещенных координатах(мы переместили центр из точки (0;0) в точку (60;45)). Вернем центр координат туда, где он был, и поймём, как изменились значения.
Подсказка 3
Конечно, к каждым координатам по Ох прибавилось 60, а к каждым по Оу прибавилось 45. Как теперь можно оценить a и b, используя условие о том, что координаты вершин квадрата-целые неотрицательные числа?
Подсказка 4
Да, мы получили, что |a|<=45 и |b|<=45. Все ли пары (a,b) нам подходят и не посчитали ли мы что-то несколько раз?
Подсказка 5
Нам не подходит пара (a,b)=(0,0), так как тогда это не квадрат. И также мы считаем все остальные пары по 4 раза. Остаётся посчитать итоговый ответ!
Проведем через 2 вершины и центр квадрата прямые, параллельные осям, как на картинке.
Заметим, что выделенные на картинке цветом треугольники равны по двум углам и стороне. Значит, если одна вершина с
координатами 
, то следующая 
, затем по аналогичным соображениям следующая вершина
и последняя 
. Тогда из условия, что все координаты неотрицательные получаем, что числа
неотрицательны. Отсюда 
и 
. Значит, для значения 
у нас
вариант и для значения 
у нас 
вариант, но если 
, то не получится квадрат. Итого: 
вариантов для пар 
, но
заметим, что в квадрате изначальную вершину можно выбрать четырьмя способами. Значит, четырём парам значений 
и 
соответствует
один квадрат. Таким образом, квадратов 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
