Параметры на ОММО —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Параметры на ОММО

Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Параметры на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79605

Наименьшее значение функции

∘ -2---2 ∘ -2--2- ∘ -2--2- ∘ -2-------2 x1+ 1 + x2+ 2 + x3+ 3 +...+ x2024+2024

для неотрицательных $x1,x2,...,x2024$ , сумма которых равна $k$ , равно $2024⋅2025$ . При каком значении параметра $k$ такое возможно?

Источники: ОММО - 2024, задача 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательнее посмотрим на задачу и попробуем вспомнить хитрый способ решения неравенств, нахождения минимума или максимума. Напоминают ли вам что-то квадратные корни из суммы квадратов? Где вы такое могли видеть?

Подсказка 2

Давайте ещё подумаем, чтобы не сразу раскрывать вам все "секреты". Могли ли вы встречать подобное в геометрии? Может быть это длина какого-то отрезка?

Подсказка 3

Верно, это же теорема Пифагора, где числа под корнями являются катетами прямоугольного треугольника. Как же теперь можно проиллюстрировать нашу задачу?

Подсказка 4

Да, получается мы можем расположить отрезки с иксами вдоль одной прямой, а с числами вдоль перпендикулярной ей. В итоге, у нас получится ломанная. Понятно, что минимумом будет просто расстояние между крайними точками ломанной, а это гипотенуза с катетами из суммы наших катетов. Осталось понять, что мы знаем обе суммы и из условия про минимум найти k, решив уравнение. Победа!

Показать ответ и решение

На оси абсцисс отметим отрезки, равные по длине $x,x ,...,x 1 2 2024$ , а на оси ординат — отрезки длины $1,2,...,2024$ . Тогда выражение $∘ -2--- x1+1$ — это расстояние от точки $(0,0)$ до точки $(x1,1)$ , а $∘ 2---2- x2 +2$ — расстояние от точки $(x1,1)$ до точки $(x2+ x1,3)$ .

$PIC$

Таким образом, получили ломанную из точки $(0,0)$ до точки с координатами

$(x1+ ...+ x2024,2024⋅22025) =(k,2024⋅22025)$ . Ее длина не превосходит расстояния между этими точками, то есть

( ) ∘x2-+12+ ∘x2-+22+ ∘x2+-32+ ...+ ∘x2--+-20242 ≥ 2024⋅2025 2+k2 1 2 3 2024 2

Тогда

∘ (--------)2---- 2024⋅2025= 2024⋅2025 + k2 2

Решив это уравнение, находим

√3 k = 2-⋅2024 ⋅2025

Ответ:

$2025⋅1012√3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63742

Укажите все значения параметра $a,|a|<1$ , при которых множество решений неравенства

|cost−-a|−-sint ||cost− 34|| >0

для $t∈(0;π)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Источники: ОММО-2023, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем естественную вещь в таком не очень хорошем параметре. У нас есть синус и косинус с одинаковым аргументом. Тогда попробуем сделать замену sin(t)=y и cos(t)=x. Какие условия тогда у нас будут?

Подсказка 2

Верно, тогда у нас получается система из 4 условий: основное тригонометрическое тождество, ограничение на t, ОДЗ знаменателя и само исходное неравенство. Тогда как теперь можно сформулировать вопрос задачи и найти а?

Подсказка 3

Ага, получается, что нам удовлетворяют все решения системы, где точки лежат на полуокружности и ниже, чем график y = |x− a|, который двигается вдоль оси х в зависимости от а. Осталось только определить, когда получается два непересекающихся отрезка в решении и найти из графика граничные точки для а.

Показать ответ и решение

Пусть $x =cost,y = sint$ . Тогда, с учётом допустимых значений $t$ , неравенство равносильно системе

(| x2+ y2 =1 |||{ y > 0 | 3 |||( x⁄= 4 y < |x − a|

Решения этой системы - точки на полуокружности $x2+ y2 = 1,y > 0$ , лежащие ниже графика функции $y = |x− a|$ .

$PIC$

При изменении параметра $a$ график функции $y =|x− a|$ перемещается вдоль оси $x$ . При значениях $a$ , близких к $− 1,$ в качестве множества решений имеем $3$ непересекающихся интервала. При значениях $a$ , близких к $1,$ получается $2$ интервала.

Крайнее положение графика, при котором получается два интервала, изображено на рисунке:

$PIC$

Координаты точки $M$ пересечения окружности и прямой $y = x− a$ равны

3 ∘ -------- √7- xM = 4,yM = 1− (3∕4)2 =-4-

Так как $34 − a =yM$ , то $√- a= 3−47$ .

Таким образом, ответом является множество $[ √- ) 3−47,1 .$

Ответ:

$[3−√7,1) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71527

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 log2x +(a− 6)log2 x+9 − 3a= 0

имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?

Источники: ОММО-2022, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решать параметр с логарифмом совсем как-то не хочется. Какое первое действие можно сделать сразу?

Подсказка 2

Верно, можно просто сделать замену логарифма и решать для начала квадратное уравнение с параметром. В таких случаях очень полезно бывает проверить, не имеет ли наше уравнение очевидных корней? Угадать их помогает разложение свободного члена и теорема Виета.

Подсказка 3

Ага, корни нашего уравнения 3 и 3-a. Осталось только сделать обратную замену, выполнить условие задачи, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $t= log x, 2$ тогда уравнение принимает вид

2 t+ (a− 6)t+ (9− 3a)=0

Заметим, что

3⋅(3− a)= 9− 3a,3+ (3− a)= 6− a

Отсюда по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения $− 3$ и $3− a.$ Делаем обратную замену:

[ log2x= 3 [ x= 8 log2x= 3− a ⇒ x= 23−a

Получаем два случая:

[ [ 8 =4⋅23−a ⇒ a= 2 23−a = 4⋅8 a= −2

Ответ:

${−2;2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73596

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x3− 11x2+ ax− 8 =0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Источники: ОММО-2020, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним теорему, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами! Теперь надо подумать, как выразить корни уравнения друг через друга при условии, что они образуют геометрическую прогрессию

Подсказка 2

Да, надо использовать теорему Виета и написать систему, которая связывает уравнения и коэффициенты! А ещё три корня выражаются друг через друга: x₁ = b, тогда x₂=bq, x₃=bq². Уже из этого мы можем явно найти второй корень, который равен bq!

Подсказка 3

Верно, второй корень равен 2. Если переобозначить, то первый корень равен 2/q, а третий 2q. Таким образом, опять-таки с помощью теоремы Виета, можно найти a (по теореме Виета a равно сумме попарных произведений корней)

Подсказка 4

Верно, мы получим, что a = 4*(1+q+1/q). А множитель, который равен скобке, можно явно найти из уравнения на сумму корней уравнения!

Показать ответ и решение

Пусть мы нашли такой $a$ , что он подходит, и у нас есть $3$ корня. Тогда можно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения:

( |{ x1 +x2+ x3 = 11 |( x1x2+ x2x3 +x1x3 = a x1x2x3 = 8.

Не умаляя общности, $x1 < x2 < x3$ . По условию корни образуют геометрическую прогрессию, это значит, что найдутся такие $b,q ⁄= 0$ , что $x = b 1$ , $x = bq 2$ , $x = bq2. 3$ Тогда из $xx x = 8 1 2 3$ получаем, что $b3q3 =8$ , откуда $bq = x =2. 2$ Выразим $x 1$ и $x 3$ при $x = 2 2$ : $x = 2 1 q$ , $x = 2q. 3$

Подставим $x = 2 1 q$ , $x = 2q 3$ в первое уравнение:

2 q + 2+ 2q =11,

2(1q +1+ q)= 11, (∗)

2 2q − 9q+2 =0.

Решим квадратное уравнение $2q2− 9q +2= 0.$ $D = 92 − 4⋅2⋅2> 0,$ это значит, что $q,x1,x2,x3$ найдутся. Найдём $a$ :

a= xx + x x +x x = x xx ( 1-+-1+ -1)= 8⋅(q+ 1 +-1)= 4(q +1+ 1)= 4⋅ 11= 22. 12 2 3 1 3 1 23 x1 x2 x2 2 2 2q q 2

Воспользовались $(∗)$ в предпоследнем действии.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49600

При каких значениях параметра $a$ уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a − 2 log4x +3ax+ 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока у нас есть логарифмы нам не очень удобно работать. Давайте заметим, что 2log₄x=log₂x, поэтому нам нужно решить уравнение вида log₂a=log₂b ⇒ a=b. Тогда у нас остается квадратное уравнение относительно x. Нельзя ли у него угадать корни?

Подсказка 2

Давайте преобразуем наше уравнение: x²+(1-a)x-2a(1+a). Тогда из теоремы Виета нетрудно заметить корни -(1+a) и 2a. Сумма их квадратов равна 5a²+2a+1. Нам нужно, чтобы она была больше 4. Какие решения нам это дает?

Подсказка 3

Верно, a < -1 и a > 3/5! Кажется, что мы уже решили нашу задачу, но мы забыли учесть ОДЗ логарифма. Подставьте наши корни -(1+a) и 2a в уравнение x²+3ax+2a² и найдите a, при которых эти значения будут больше 0!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a = log2x +3ax+ 2a

2 2 2 2 2 2x + (2a +1)x− 2a =x + 3ax+ 2a ⇐ ⇒ x + (1− a)x− 2a− 2a = 0 ⇐⇒

(x+a +1)(x − 2a)= 0 ⇐⇒ x= 2a,x= −a − 1

Чтобы корни были различны, нужно $2a⁄= −a− 1 ⇐⇒ a⁄= − 13$ . Условие на сумму их квадратов

4a2+ a2+2a+ 1= 5a2+2a +1> 4 ⇐⇒ 5a2+2a− 3> 0 ⇐⇒ (a+1)(5a − 3)> 0

То есть $a< −1$ или $a> 35$ . Остаётся учесть ОДЗ. В силу равенства логарифмов достаточно написать условие на положительность только для одного из аргументов (проверить, что для решений $2a,− a− 1$ оно положительно)

(2a)2+ 3a⋅2a+2a2 > 0 ⇐⇒ a⁄= 0

(a+ 1)2− 3a(a+1)+ 2a2 = −a+ 1> 0 ⇐ ⇒ a < 1

В итоге $3 a∈ (−∞, −1)∪(5,1).$

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(3;1) 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39867

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( 2 2) (2 2) log3 2x − x +2a− 4a + log1∕3x + ax− 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых меньше $1$ ?

Источники: ОММО-2019, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва замечаем, что логарифмы можно привести к одному основанию, например, к 3. Тогда их можно развести в разные стороны и из монотонности логарифма можно сделать вывод о равенстве подлогарифмических выражений. Всё ли мы учли?

Подсказка 2

Не-а, обязательно не забываем записать условие на положительность одного из этих выражений! Дальше уже из системы находятся корни. Что надо для них проверить?

Подсказка 3

Правильно, могут ли они совпадать? Оказывается, да, при a = 1/3. Тогда это значение параметра не берём в ответ. Теперь можно подставить найденные корни в систему, решить её, а потом ещё учесть условие на сумму квадратов!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно

( 2 2) ( 2 2) log3 2x − x+ 2a− 4a = log3 x + ax − 2a ⇐⇒

{ x2+ax− 2a2 > 0 { (x +2a)(x− a)> 0 2x2 − x+ 2a− 4a2 =x2+ ax− 2a2 ⇐ ⇒ (x − 2a)(x+ a− 1)= 0

То есть корнями будут $x =2a,x= 1− a$ . Корни различны, потому $a⁄= 1 3$ , осталось подставить их в неравенство

{ (2a+2a)(2a− a)> 0 { a⁄= 0 (1− a+2a)(1− a− a)> 0 ⇐⇒ a∈ (− 1,12)

Осталось учесть условие на сумму квадратов

( ) 4a2+ 1− 2a+ a2 < 1 ⇐⇒ a∈ 0,2 5

Ответ:

$(0,1)∪(1,2) 3 3 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#34206

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−2ax+a2 2 2 3 2 3 = ax − 2a x+ a +a − 4a+ 4

имеет ровно одно решение.

Источники: ОММО-2018, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хочется подсократить выражение, поэтому давайте сделаем замену t=x-a (повлияет ли это на количество решений?). Тогда что интересного можно заметить в обеих частях уравнения?

Подсказка 2

Конечно же симметрию! Если t - это решение, то -t тоже является решением! Отсюда получается и единственное значение t, которое должно быть решением уравнения! Осталось проанализировать, при каких именно значениях а, это решение будет единственным.

Подсказка 3

Получили а=1 и а=3. В первом случае попробуйте оценить 3^x снизу, чтобы выяснить количество решений для данного уравнения.

Подсказка 4

Во втором же случае удобно перебрать значения в нескольких точках, чтобы сделать вывод о количестве решений для данного уравнения!

Показать ответ и решение

Обозначим $x− a$ через $t$ . Заметим, что количество решений уравнения от такой замены не меняется. Тогда исходное уравнение приобретёт вид

t2 2 2 3 =at +a − 4a+ 4.

Заметим, что выражения в обеих частях не меняются при замене $t$ на $− t$ , поэтому нечётное число решений (в частности, ровно одно решение), это уравнение может иметь только если $t =0$ является его корнем:

0 2 3 = a⋅0+a − 4a+ 4,

т.е. $a2− 4a+ 3= 0$ , откуда $a= 3$ или $a= 1$ . Итак, кроме этих двух чисел, никакие другие значения параметра $a$ не могут удовлетворять условию.

Пусть $a = 1$ . Тогда уравнение примет вид $3t2 = t2+ 1$ . Заметим, что $3x > xln3+ 1$ при $x >0$ (что можно доказать, например, взяв производные обеих частей и учтя значение в нуле). Тогда при $t⁄= 0$ получаем $3t2 >$ $t2ln3 +1 >t2+ 1$ . Итак, при $a =1$ уравнение имеет единственное решение.

Пусть $a = 3$ . Тогда уравнение примет вид $3t2 = 3t2+ 1$ . Заметим, что $31 = 3,3⋅1+ 1= 4$ , но $322 = 81$ , $3⋅22+ 1= 13$ , т.е. при $t= 1$ левая часть меньше правой, а при $t= 2−$ наоборот. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, уравнение имеет ещё хотя бы корень на интервале $(1,2)$ . Следовательно, $a= 3$ не удовлетворяет условию.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49603

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x3+ax2+ 13x− 6 =0$ имеет единственное решение?

Источники: ОММО-2016, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если смотреть на левую часть как на функцию от x с параметром a, то становится как-то страшно. Но мы видим, что как функция относительно переменной a она линейна. Что тогда хочется сделать?

Подсказка 2

Можно выразить a через x и построить график этой функции в плоскости xa. Тогда точки пересечения горизонтальной прямой a=const - это в точности корни x нашего уравнения. Постройте график и найдите все такие прямые, которые пересекают график ровно в одной точке!

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению $a= f(x)= −x3−13x+6= −x − 13-+-6 (∗) x2 x x2$ .

Заметим, что $f(x)→ +∞$ при $x → −∞$ и $f(x)→ −∞$ при $x → +∞$ . Также $f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x =0$ .

Производная функции $f(x)$ равна $′ 13 12 x3−13x+12 f(x)= −1+ x2 − x3 = − x3$ . Находим нули числителя: $3 2 2 2 (x − x)+ (x − x)− (12x+ 12) =0 ⇐⇒ (x− 1)(x +x − 12)= 0 ⇐⇒ x∈ {− 4;1;3}$ .

Расставляя знаки для производной по методу интервалов, делаем вывод, что функция $f$

на промежутке $(−∞,− 4]$ убывает от $+∞$ до $61 f(−4)= 8$ .
на промежутке $[−4,0)$ — возрастает от $61- 8$ до $+∞$
на промежутке $(0,1]$ — убывает от $+∞$ до $f(1)= −8$ .
на промежутке $[1,3]$ — возрастает от $− 8$ до $f(3)= − 203$ .
на промежутке $[3,+∞ )$ — убывает от $− 203-$ до $− ∞$ .

$PIC$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает каждое своё значение

из промежутка $(−∞;− 8)$ ровно один раз;
$− 8$ - два раза;
из промежутка $20 (−8;−3-)$ - три раза (один раз в точке $x= 1$ , а второй раз - на промежутке $(3,+∞ )$ );
$− 203-$ - два раза;
из промежутка $(− 203 ;681 )$ - один раз
$618-$ - два раза
из промежутка $(681;+ ∞)$ - три раза.

Итак, уравнение $∗ ()$ , а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при $20-61 a∈ (− ∞;−8)∪(− 3 ; 8 )$ .

Ответ:

$(−∞;− 8)∪(− 20;61) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45585

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 ln(x+ a)− 4(x+ a)+ a= 0

имеет единственный корень?

Источники: ОММО-2015, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что искать тут как-то решения сразу или выражать х или а, у нас не получится. У нас есть и логарифм, и квадрат. Но сразу видим у них общие части. Что тогда с ними нужно сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить х+а новой переменной, например, t. Теперь мы можем выразить а через t. Хорошо бы было построить график этого уравнения в плоскости tOa, но у нас там логарифм+ квадрат... Но в 10-11 классе это же не проблема? Особенно, если вы смотрели вебинары и помните, что там делали!

Подсказка 3

Да, давайте просто проанализируем нашу функцию относительно t. Попробуйте найти минимум функции и подумать, какие а вам не подойдут сразу, другие же отсечь, исходя из уловия задачи.

Показать ответ и решение

После замены $t= x+ a$ получаем уравнение $a= 4t2 − lnt.$ Исследуем множество значений $f(t)= 4t2− ln t$ . Возьмём производную

′ 1 8t2− 1 f(t)= 8t− t =--t--

На области определения $t> 0$ получаем $′ f(t)<0$ при $1 t< √8$ , $′ 1 f (√8-)=0$ , $′ f (t)> 0$ при $1 t> √8.$ Тогда функция имеет единственный минимум в точке $1 t∗ = 2√2,$ а при $t→ 0$ и $t→ +∞$ она стремится к $+∞$ . Тогда ясно, что при $a< f(t∗)$ решений нет. В случае же $a >f(t∗)$ за счёт выбора $x =t− a$ можно подобрать соответствующие для $t$ два решения, при $a =f(t∗)$ ровно одно.

В итоге подходит только $a= f(t∗)= 1+3l2n2$ .

Ответ:

$1+3ln2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#43118

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

4 2 2x − 7ax +5a = 0

имеет хотя бы один целый корень?

Источники: ОММО-2013, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Относительно х видим какое-то непонятное уравнение 4-ой степени, а относительно а? Квадратное уравнение! Давайте посчитаем дискриминант и поймем, при каких х существуют решения?

Подсказка 2!

Верно, чтобы дискриминант показывал наличие корней, мы хотим чтобы у нас он был больше или равен нулю. Вспомните, что х целый по условию и найдите, чему он может быть равен!

Показать ответ и решение

Запишем дискриминант относительно $a$

2 4 2 2 D =49x − 40x =x (49 − 40x )≥0

Решения есть только при $x∈ {0,±1}$ (не забываем, что $x$ целый). Подставим $x= 0$ , получим единственное решение $a= 0$ . При $x =1$ имеем $a= 7±3= {1,2} 10 5$ . При $x= −1$ $a∈{− 1,− 2} 5$ .