Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение. В ответе укажите сумму квадратов корней уравнения если они есть, и 0, если уравнение не имеет корней.
Так как уравнение имеет корни.
1 способ.
Пусть и – корни уравнения. Тогда по теореме Виета ,
2 способ.
Корни уравнения
Тогда
Заметим, что первый способ вычислительно проще.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите произведение корней уравнения
1 способ.
Сделаем замену: Тогда и уравнение примет вид:
По теореме Виета корнями являются числа и следовательно,
Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.
2 способ.
Раскроем скобки:
Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение. В ответ укажите сумму квадратов корней уравнения, если они есть, и , если уравнение не имеет корней.
Так как то уравнение имеет корни.
1 способ.
Пусть и – корни уравнения. Тогда и
2 способ.
Корни уравнения
Тогда
Заметим, что первый способ вычислительно проще.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите положительный корень уравнения
Сделаем замену: . Тогда и уравнение примет вид:
По теореме Виета корнями являются числа и следовательно,
Следовательно, положительный корень – это .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма квадратов различных вещественных корней приведенного квадратичного трехчлена равна а сумма кубов этих же корней равна Найдите количество квадратичных трехчленов, удовлетворяющих этим условиям.
Приведенным называется квадратичный трехчлен вида где – некоторые числа. Пусть – различные вещественные корни такого трехчлена (следовательно, его дискриминант должен быть положительным).
Тогда
Следовательно, получаем систему:
Найдем корни уравнения Подбором находим, что является корнем. Выполнив деление в столбик, получаем следовательно, его корни: и Тогда получаем:
Осталось проверить положительность дискриминанта.
Для первой пары чисел получаем: для второй пары чисел:
Следовательно, подходит только одна пара чисел, а это значит, что существует только один приведенный квадратичный трехчлен, удовлетворяющий условиям.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на . После деления: – подходит по ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду, область значений которой – множество положительных чисел, причём при и при . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
Сделаем замену , тогда исходное уравнение примет вид
Дискриминант тогда корни
Тогда или но по условию может принимать только положительные значения, следовательно, быть не может.
Так как по условию выполняется при и при то у исходного уравнения два корня Меньший из корней:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду, кроме . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: и , что равносильно . Решим на ОДЗ:
Разделим на :
Дискриминант , откуда
но по ОДЗ подходит только .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на
После деления: – подходит по ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду, кроме область значений которой – множество не положительных чисел, причём при и при Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.
ОДЗ: что равносильно Решим на ОДЗ: Сделаем замену тогда исходное уравнение примет вид
Дискриминант тогда корни
Тогда или но по условию может принимать только не положительные значения, следовательно, быть не может.
Так как по условию выполняется при и при то у исходного уравнения два корня то есть и Больший из корней:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду, кроме причём при всех допустимых Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: и что равносильно Решим на ОДЗ:
Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только том случае, если хотя бы один из них равен нулю и все они не теряют смысл.
Тогда в силу того, что при всех допустимых на ОДЗ исходное уравнение равносильно
что аналогично на ОДЗ равносильно
Дискриминант откуда
но по ОДЗ подходит только
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду, кроме Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: что равносильно Решим на ОДЗ:
Разделим на
Дискриминант откуда
но по ОДЗ подходит только
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду, кроме Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.
ОДЗ: что равносильно Решим на ОДЗ:
Разделим на
тогда по теореме Виета и откуда и но по ОДЗ подходит только
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
если – некоторая функция, определённая всюду на
ОДЗ: Решим на ОДЗ: – подходит по ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите произведение корней уравнения, если известно, что все они различны.
По теореме Виета для уравнения третьей степени произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите значение выражения
где – различные корни уравнения
По теореме Виета для уравнения третьей степени отношение равно значению выражения где – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения для исходного уравнения равно
По теореме Виета для уравнения третьей степени произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно , тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно
В итоге
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сумму корней уравнения, если известно, что все они различны.
По теореме Виета для уравнения третьей степени сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько корней имеет данное уравнение?
ОДЗ:
Так как при любом имеем то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда
что равносильно
Из второго уравнения получаем:
Подставляя это в первое уравнение, находим:
Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа
Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при
В итоге, ответ: 0.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами. Антон придумал себе уравнение
Сколько алгебраических корней у этого уравнения?
ОДЗ:
Исходное уравнение равносильно уравнению
Так как левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, то уравнение, получающееся из данного возведением в квадрат левой и правой частей, равносильно исходному на ОДЗ.
Таким образом, всякое решение исходного уравнения является корнем многочлена следовательно, всякое решение исходного уравнения будет алгебраическим.
Решениями последнего уравнения будут Прямой проверкой убеждаемся, что оба корня подходят по ОДЗ. Например, для
Таким образом, у исходного уравнения два алгебраических корня.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите корень уравнения
ОДЗ: — произвольное. Решим на ОДЗ:
Разделим левую и правую часть уравнения на
Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно что равносильно — подходит по ОДЗ.