Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная пирамида с вершиной .
1) Проведите плоскость через середину ребра и точки пересечения медиан граней и . Найдите сечение пирамиды этой плоскостью.
2) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если ,.
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим в полуплоскость, содержащую точку , перпендикулярно ,
Ось направим в полупространство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .
Пусть точка — основание высоты пирамиды, ,
1) Пусть - середина ребра , - точки пересечения медиан граней и соответственно.
Аналогично найдем середины
Воспользовавшись тем фактом, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении , считая от вершины, найдем координаты точек .
Заметим, что направляющий вектор плоскости .
Тогда - направляющий вектор плоскости. Учитывая, что плоскость по условию проходит через середину , получаем, что принадлежит искомой плоскости.
Параметрически зададим уравнение искомой плоскости через начальную точку и 2 направляющий вектора этой плоскости.
Пусть - точка пересечения плоскости и прямой . Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Найдем точку пересечения и :
|
Подставим значение параметра в уравнение прямой и найдем координаты точки .
В сечении получаем треугольник , где все точки этого треугольника нам известны.
2) Найдём уравнение вектора
Заметим, что . Докажем это через скалярное произведение одноименных векторов.
|
Тогда треугольника можно по следующей формуле:
|
Из условия ,
Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат , а две боковые грани и представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом .
1) Найдите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и параллельно грани .
2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, если .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора .
( и по условию плоскости основания)
Пусть , тогда:
, , , , ,
Параметрически зададим уравнение искомой плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора плоскости (в силу того, что эти плоскости параллельны):
1) Очевидно, что, так как , прямая плоскости , проходящая через точку будет параллельна прямой и пересекать и в их серединах — в точках и , соответственно.
Найдем пересечение плоскости с прямой
|
Подставим в уравнение прямой и найдём точку
Найдем уравнение прямой
Докажем, что точка пересечения и плоскости - точка имеет координаты:
Подставим в уравнение прямой
Подставим в уравнение плоскости
Точка принадлежит одновременно прямой и плоскости, следовательно, это и есть точка пересечения.
Заметим, что одноименные направляющие вектора прямых и коллинеарны
И очевидно, что прямые не являются параллельными, так как направляющие вектора не коллинеарны.
Получаем, что в сечении - трапеция.
2) Заметим, что . Докажем это через скалярное произведение направляющих векторов этих прямых.
Тогда найдем по формуле:
|
Из условия .
Тогда найдем
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб . На ребрах и отмечены точки и соответственно, причем , а – середина . В каком отношении плоскость делит ребро .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора .
Пусть сторона куба , тогда можем найдем координаты следующих точек
, , , , , ,
,
(Так как )
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Параметрически зададим уравнение плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора плоскости:
Найдем точку пересечения и :
|
Найдем координаты точки пересечения, подставив найденное значение в уравнение прямой
Тогда очевидно, что
, где - точка пересечения ребра и плоскости.