ПРЕДЛОЖЕНИЯ

1)  По возвращению из Грузии он первым делом отправился к родителям, которых не видел в течение четырёх месяцев и по которым очень скучал. — неправильное употребление падежной формы существительного с предлогом (если предлог «по» имеет значение «после чего-либо», то существительное должно быть в предложном падеже (о ком? о чём?) – о возвращенИИ). Верный вариант: По возвращенИИ из Грузии он первым делом отправился к родителям, которых не видел в течение четырёх месяцев и по которым очень скучал.

2) Начиная новую карточную игру в казино, у него почти не осталось денег, поэтому следовало надеяться только на удачу, часто покидавшую его в последнее время. — неправильное построение предложения с деепричастным оборотом (нет субъекта (подлежащего), который выполняет действие, выраженное деепричастным оборотом «начиная новую карточную игру в казино»; мы понимаем, что в данном данном случае безличная конструкция не подходит из-за несовпадения  производителей  действия в сказуемом и деепричастии. Один из верных вариантов: Начиная новую карточную игру в казино, он почти не имел денег, поэтому следовало надеяться только на удачу, часто покидавшую его в последнее время.

4) Прождав меня несколько часов, Сергей направился домой совсем один по темному переулку, собиравшийся подарить мне подарок. — неправильное построение предложения с причастным оборотом (причастный оборот «собиравшийся подарить мне подарок» относится к существительному «Сергей» и должен стоять непосредственно рядом с ним). Один из верных вариантов: Прождав меня несколько часов, Сергей, собиравшийся подарить мне подарок, направился домой совсем один по темному переулку.

6) Этот невысокий молодой человек с грубыми чертами лица меня привлекает не только умением рассуждать об искусстве эпохи Возрождения, а также стремлением к познанию мира. — ошибка в построении предложения с однородными членами (в данном предложении ошибка состоит в том, что двойной союз «не только…, но и…» разрушен, неправильно закончен (употреблена неверная вторая часть); стоит запомнить двойные союзы («не только…, но и…»; «как…, так и…»; «не столько…, сколько…»; «хотя и…, но…» и т.д.)). Верный вариант: Этот невысокий молодой человек с грубыми чертами лица меня привлекает не только умением рассуждать об искусстве эпохи Возрождения, но и стремлением к познанию мира.

9) Меня волнует вопрос, что неужели не осталось в мире добрых, отзывчивых людей, способных совершать бескорыстные поступки. —  ошибка в построении сложного предложения (придаточное предложение присоединено к главной части  при помощи подчинительного союза ЧТО и вопросительной частицы НЕУЖЕЛИ; использование союза неоправданно, его нужно исключить, необходимая функция выполняется частицей). Верный вариант: Меня волнует вопрос: неужели не осталось в мире добрых, отзывчивых людей, способных совершать бескорыстные поступки?