Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и — на второй. При этом и — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми и
Пусть и — центры меньшей и большей окружности соответственно. Пусть Тогда, так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то Также следовательно, — биссектриса угла Так как равнобедренный, а — биссектриса, то Аналогично Следовательно, Таким образом, требуется найти
Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то следовательно, Проведем тогда — параллелограмм, следовательно, Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем и
Треугольники подобен треугольнику так как — общий, Тогда
так как как соответственные при параллельных прямых, следовательно,
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и — на второй. При этом и — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми и
Пусть и — центры меньшей и большей окружностей соответсвенно. Пусть и пересекаются в точке
Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то и
Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе: — общая.
В равных треугольниках соответственные элементы равны. Тогда отрезки касательных, проведенные из точки к окружности, равны, то есть Также следовательно, — биссектриса угла
Аналогично равны прямоугольные треугольники и так как — общая.
В равных треугольниках соответственные элементы равны. Тогда отрезки касательных, проведенные из точки к окружности, равны, то есть Также следовательно, — биссектриса угла
Таким образом, точки и лежат на одной прямой.
Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и
Треугольник равнобедренный и — его биссектриса, следовательно, Аналогично Значит, Таким образом, в задаче требуется найти
Так как то Проведем тогда — прямоугольник.
Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем
Треугольники подобен треугольнику так как — общий. Тогда
Аналогично следовательно,
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча если
Пусть окружность касается луча в точке По теореме о касательной и секущей
Запишем теорему косинусов для треугольника
Значит, треугольник — равнобедренный Тогда — угол между касательной и хордой значит, он равен половине дуги, заключённой между ними, то есть Значит, следовательно,
Угол является углом треугольника, значит,
Тогда может найти
Пусть — радиус описанной окружности треугольника По теореме синусов для треугольника :
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основанию Окружность проходит через точки и и касается прямой в точке Найдите расстояние от точки до прямой если
Продлим боковые стороны и до пересечения в точке Рассмотрим треугольник В нем является средней линией, так как и по условию. Тогда и
Заметим, что и — касательная и секущая окружности, которая проходит через точки и и касается прямой в точке Тогда по теореме о касательной и секущей
Опустим высоту из точки на прямую Заметим, что треугольники и подобны по двум углам: и — общий. Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |