Треугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 25. Геометрическая задача повышенной сложности

25.01 Треугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача повышенной сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47410

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√-- cos∠BAC = -389.$

Показать ответ и решение

По теореме о касательной и секущей

2 √-------- √----- √ -- AK = AM ⋅AN ⇒ AK = AM ⋅AN = 16 ⋅39 = 4 39

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM = ∠BAC,$ то $√ -- cos∠KAM = cos∠BAC = --39. 8$ По теореме косинусов

KM2 =AK2 +AM2 − 2AK ⋅AM ⋅cos∠KAM = √-- √ -- -39- =624+ 256− 2⋅4 39 ⋅16 ⋅ 8 = 624 +256− 624= 256 ⇒ KM = 16

$PIC$

По теореме об угле между касательной и хордой $∠AKM = ∠KNM.$

Так как $AM = KM = 16,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и $√39- cos∠KNM = cos∠KAM = 8 .$

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 cos ∠KNM + sin ∠KNM = 1 2 2 39 25 sin ∠KNM = 1− cos ∠KNM = 1− 64 = 64

Так как $∘ ∘ 0 < ∠KNM < 180,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘ --- sin∠KNM = 25= 5 64 8

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM KM 16 16⋅8 sin∠KNM---= 2R ⇒ R = 2sin∠KNM---= 2⋅ 5-= 2⋅5-= 12,8 8

Ответ: 12,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47408

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12,$ $AC = 72,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $K.$ Обозначим точку пересечения $BD$ с $AK$ за $H.$ Так как $BD ⊥AO,$ то $∠BHA = ∠AHD = 90∘.$

$AK$ — диаметр описанной около $△ ABC$ окружности, поэтому $∘ ∠ABK = ∠ACK = 90 ,$ так как они опираются на диаметр.

Рассмотрим $△ AHB$ и $△ ABK.$ В них $∠HAB =∠BAK$ как общий, $∘ ∠AHB = ∠ABK = 90 .$

Таким образом, треугольники $AHB$ и $ABK$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH- = AB- = BH-- ⇒ AB2 = AH ⋅AK AB AK BK

Рассмотрим $△ AHD$ и $△ ACK.$ В них $∠HAD = ∠CAK$ как общий, а $∠AHD = ∠ACK = 90∘.$

Таким образом, треугольники $AHD$ и $ACK$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AH-= AD- = DH-- ⇒ AD ⋅AC = AH ⋅AK AC AK CK

Получили:

AB2 12⋅12 12 ⋅12 AB2 = AH ⋅AK = AD ⋅AC ⇒ AB2 = AD ⋅AC ⇒ AD = -AC- = -72--= -12⋅6 = 2

Тогда

CD = AC − AD = 72− 2 =70

Ответ: 70

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46988

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM =4$ и $MB = 9.$ Касательная к оркужности, описанной около треугольника $ABC,$ проходит через точку $C$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $CD = x,$ $AD = y.$ Тогда $BD = AD + AM + BM = y+ 13.$

Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то $⌣ ∠ACD = 12AC.$ $⌣ ∠ABC = 12AC$ как вписанный угол. Следовательно, $∠ACD = ∠DBC.$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $ACD.$ $∠D$ — общий, $∠ACD = ∠DBC.$ Тогда $△ CBD ∼ △ACD$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

BC- CD- BD- BC- x AC = AD = CD ⇒ AC = y

В треугольнике $ABC$ по свойству биссектрисы

BC- = BM-- ⇒ x= 9 AC AM y 4

По теореме о касательной и секущей

2 2 CD = AD ⋅BD ⇒ x = y⋅(y+ 13)

Составим систему:

{ { x2 = y2+ 13y y = 4x9- x = 9 ⇔ x2 =(4x)2+ 13⋅ 4x y 4 9 9

Решим второе уравнение системы:

(4x)2 4x x2 = -9 +13 ⋅9- 81x2 = 16x2 +4 ⋅13 ⋅9x 2 65x = 4⋅13⋅9x 13 ⋅5x = 4⋅13⋅9 5x = 4⋅9 x= 36-= 7,2 5

Тогда $CD = 7,2.$

Ответ: 7,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46944

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ $(AB ⁄= AC)$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M,$ $AD =80,$ $MD = 64,$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Найдите $AH.$

Показать ответ и решение

Пусть $N$ — точка пересечения окружности с $AC.$ Проведём $BN.$ $∠BNC$ — вписанный и опирается на диаметр. Тогда $∠BNC =90∘,$ то есть $BN$ — высота.

В треугольнике $ABC$ $BN$ и $AD$ — высоты. По условию $BN ∩ AD = H.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $AHN$ и $ACD.$ $∠ANH = 90∘ = ∠ADC,$ $∠A$ — общий. Тогда $△ AHN ∼ △ACD$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

AH AN AC-= AD- ⇒ AH ⋅AD = AC ⋅AN

Продлим $AD$ до пересечения с окружностью в точке $P.$

Проведём $OM$ и $OP.$ $OM = OP$ как радиусы, следовательно, треугольник $MOP$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому

PD = MD = 64

Найдём $AM :$

AM = AD − MD =80 − 64 =16

По теореме о двух секущих

AN ⋅AC = AM ⋅AP = 16⋅144

Так как $AH ⋅AD =AC ⋅AN$ по доказанному ранее, то

16 ⋅144 16⋅144 AH ⋅AD = 16⋅144 ⇒ AH = --AD-- = --80--= 28,8

Ответ: 28,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45469

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM =8$ и $MB = 13.$ Касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC,$ проходит через точку $C$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $CD = x,$ $AD = y.$ Тогда $BD = AD + AM + BM = y+ 21.$

Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то $⌣ ∠ACD = 12AC.$ $⌣ ∠ABC = 12AC$ как вписанный угол. Следовательно, $∠ACD = ∠DBC,$

BC- CD- BD- BC- x AC = AD = CD ⇒ AC = y

В треугольнике $ABC$ по свойству биссектрисы

BC-= BM-- ⇒ x = 13 AC AM y 8

По теореме о касательной и секущей

2 2 CD = AD ⋅BD ⇒ x = y⋅(y+ 21)

Составим систему:

{ { x2 = y2+ 21y y = 8x13 x = 13- ⇔ x2 =(8x)2+ 21⋅ 8x y 8 13 13

Решим второе уравнение системы:

(8x)2 8x x2 = 13 +21 ⋅13 169x2 = 64x2 +8 ⋅21 ⋅13x 2 105x = 8⋅21⋅13x 21⋅5x= 8 ⋅21 ⋅13 5x= 8 ⋅13 x = 104-= 20,8 5

Тогда $CD = 20,8.$

Ответ: 20,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43617

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√-- cos∠BAC = -161.$

Показать ответ и решение

По теореме о касательной и секущей

2 √ -------- √ ---- √-- AK = AM ⋅AN ⇒ AK = AM ⋅AN = 9⋅11= 3 11

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM = ∠BAC,$ то $√ -- cos∠KAM = cos∠BAC = --11. 6$ По теореме косинусов

KM2 =AK2 +AM2 − 2AK ⋅AM ⋅cos∠KAM = √-- √-- -11- = 99+ 81− 2⋅3 11⋅9 ⋅ 6 = 99 +81 − 99 =81 ⇒ KM = 9

По теореме об угле между касательной и хордой $∠AKM = ∠KNM.$

Так как $AM = KM = 9,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и $√11- cos∠KNM = cos∠KAM = 6 .$

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 cos ∠KNM + sin ∠KNM = 1 2 2 11 25 sin ∠KNM = 1− cos ∠KNM = 1− 36 = 36

Так как $∘ ∘ 0 < ∠KNM < 180,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘ --- sin∠KNM = 25= 5 36 6

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM KM 9 9⋅6 sin∠KNM---= 2R ⇒ R = 2sin∠KNM---= 2-⋅ 5= 2⋅5 = 5,4 6

Ответ: 5,4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40949

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Обозначим точку пересечения $BE$ и $AD$ за $O.$

Рассмотрим треугольник $ABD :$

1.: $∠BOD = ∠BOA = 90∘,$ так как $BE ⊥ AD$ по условию, следовательно, $BO$ — высота в треугольнике $ABD.$
2.: $∠ABO =∠DBO,$ так как $BE$ — биссектриса $∠ABC.$

Тогда в треугольнике $ABD$ $BO$ — биссектриса и высота, следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.

По свойству равнобедренного треугольника $BO$ — медиана треугольника $ABD.$ Тогда

AO = OD = 1 AD = 1 ⋅12 =6 2 2

Тогда

1 AB = BD = 2BC,

так как $AD$ — медиана треугольника $ABC.$

По свойству биссектрисы треугольника

AE-= AB- = 1 ⇒ EC = 2AE EC BC 2

Тогда

AE AE AE 1 AC-= AE-+-EC-= 3AE--= 3

$PIC$

Продлим медиану $AD$ на ее длину. Пусть точка $F$ — полученная точка. Тогда $AD = DF,$ $BD = DC.$

Четырехугольник $ABF C$ — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BF ∥ AC.$ Следовательно, $∠FAC =∠BF A$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $F B$ и секущей $AF.$

$BE ⊥ AD,$ поэтому $∠BOF = ∠AOE = 90∘.$ Тогда $△ AOE ∼ △F OB$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

AO OE AE OF- = BO-= BF-

Так как $AC = BF$ по свойству параллелограмма, то

AE- = AE-= 1 BF AC 3

Значит,

OE- = 1 ⇒ BO = 3OE BO 3

Тогда

OE OE OE OE 1 EB-= OE-+-OB- = OE-+-3OE-= 4OE- = 4 OE = 1BE = 1 ⋅12= 3 4 4 BO = BE − AE = 12− 3= 9

Рассмотрим треугольник $BOA.$ $∘ ∠BOA = 90 .$ По теореме Пифагора

AB2 =AO2 + OB2 ∘ --2-----2- √ ------ √--- √ -- AB = AO +OB = 36+ 81= 117= 3 13

Рассмотрим треугольник $AOE.$ В нем $∠AOE = 90∘.$ По теореме Пифагора

2 2 2 AE =AO + OE AE = ∘AO2--+-OE2-= √36+-9= √45-= 3√5

Найдем стороны треугольника $ABC :$

√ -- √-- BC =2AB =2 ⋅3 13= 6 13 AC = 3AE = 3⋅3√ 5= 9√5

Ответ:

$√ -- 3 13;$ $√ -- 6 13;$ $√- 9 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40208

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 28,$ $AC = 56,$ точка $O$ – центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Прямая $BD,$ перпендикулярная прямой $AO,$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Найдите $CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим $AO$ до пересечения с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Обозначим полученную точку за $K.$

Обозначим точку пересечения $BD$ с $AK$ за $H.$ Так как $BD ⊥ AO,$ то

∠BHA = ∠AHD = 90∘

$AK$ – диаметр описанной около $△ ABC$ окружности, поэтому:

∠ABK = ∠ACK = 90∘,

так как они опираются на диаметр.

Рассмотрим $△ AHB$ и $△ ABK :$

1.: $∠HAB = ∠BAK$ как общий;
2.: $∠AHB = ∠ABK = 90∘.$

$△AHB ∼ △ABK$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

AH- = AB-= BH-- AB AK BK AB2 = AH ⋅AK

Рассмотрим $△ AHD$ и $△ ACK :$

1.: $∠HAD = ∠CAK$ как общий;
2.: $∠AHD = ∠ACK = 90∘.$

$△AHD ∼ △ACK$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

AH- = AD-= DH-- AC AK CK AD ⋅AC = AH ⋅AK

Получили:

AB2 = AH ⋅AK =AD ⋅AC 2 AB = AD ⋅AC AB2- 28⋅28 1 AD = AC = 56 = 2 ⋅28= 14

Тогда

CD = AC − AD = 56− 14= 42

Ответ: 42

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38486

Медиана $BM$ и биссектриса $AP$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K,$ длина стороны $AC$ относится к длине стороны $AB$ как $2:3.$ Найдите отношение площади треугольника $AKM$ к площади треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AC = 2x,$ $AB = 3x,$ тогда $AM = MC = x.$ Пусть также $S =S. △ABC$ Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих, то

1 S△ABM = S△CBM = 2S

Так как биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, прокорциональные прилежащим сторонам, то $BK :MK = AB :AM =3 :1.$ Заметим, что $△ABK$ и $△AMK$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A.$ Следовательно, их площади относятся как основания, то есть

S△ABK :S△AMK =3 :1

Следовательно,

1 1 1 1 S△AMK = 4S△ABM = 4 ⋅2S = 8S

Следовательно,

S△AMK :S = 1:8 =0,125

Ответ: 0,125

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37459

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $13:12,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 20.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству биссектрисы угла треугольника $AH :AB =12 :13.$ Следовательно, $cos∠A = 1123.$ Тогда

∘----144- 5 sin ∠A = 1 − 169-= 13

Тогда по теореме синусов

--BC--- -20-- R = 2sin∠A = 2⋅ 513-= 26.

Ответ: 26

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел