Записаны уравнения реакций: 
1) 3Na₂S + 2Al(NO₃)₃ + 6H₂O ⟶ 2Al(OH)₃ + 3H₂S + 6NaNO₃

Используя массовые соотношения, определим, кто из реагентов в первой реакции находится в недостатке:
m Na₂S / m Al(NO₃)₃ = 5,2 / 7,1
(n Na₂S · M Na₂S) / (n Al(NO₃)₃ · M Al(NO₃)₃) = 5,2 / 7,1
(n Na₂S · 78) / (n Al(NO₃)₃ · 213) = 5,2 / 7,1
n Na₂S / n Al(NO₃)₃ · 78 / 213 = 5,2 / 7,1
n Na₂S / n Al(NO₃)₃ = (5,2 · 213) / (7,1 · 78) = 2 / 1

Приходим к выводу, что Na₂S находится в избытке, а Al(NO₃)₃ в недостатке. Далее расчеты идут по недостатку, то есть по Al(NO₃)₃.

При добавлении AgNO₃ пойдет реакция:
2) Na₂S + 2AgNO₃ ⟶ Ag₂S + 2NaNO₃

По условию исходные вещества полностью вступили в реакцию 2, так как после в растворе осталось единственное вещество – NaNO₃. Найдем число моль нитрата натрия:
m NaNO₃ = m_р-ра NaNO₃ · ω NaNO₃ = 680 · 0,1 = 68 г
n NaNO₃ = m NaNO₃ / M NaNO₃ = 68 / 85 = 0,8 моль

Так как число моль сульфида натрия относится к числу моль нитрата алюминия, как 2 : 1, то пусть n Al(NO₃)₃ = х моль, n Na₂S = 2х моль. Составим уравнение:
n_общ. NaNO₃ = n₁ NaNO₃ + n₂ NaNO₃

n₁ NaNO₃ =  3n Al(NO₃)₃ = 3x моль

n₂ NaNO₃ = 2n₂ Na₂S 
n₂ Na₂S = n_исх. Na₂S – n_{прореаг.} Na₂S 
n_{прореаг.} Na₂S = 1,5n Al(NO₃)₃ = 1,5x моль
n₂ Na₂S  =  2x – 1,5x = 0,5x моль
n₂ NaNO₃ = 2 · 0,5x = x моль

n_общ. NaNO₃ = 3x + x = 4x моль
4x = 0,8

x = 0,2; n Al(NO₃)₃ = 0,2 моль
m Al(NO₃)₃ = n Al(NO₃)₃ · M Al(NO₃)₃ = 0,2 · 213 = 42,6 г

n_исх. Na₂S = 0,2 · 2 = 0,4 моль
m_исх. Na₂S = n_исх. Na₂S · M Na₂S = 0,4 · 78 = 31,2 г

Выразим массу итогового раствора и найдем массу раствора нитрата серебра(I):
m_{итог. р-ра} = m_исх. Na₂S + m Al(NO₃)₃ + m Н₂О – m Al(OH)₃ – m H₂S + m_р-ра AgNO₃ – m Ag₂S = 680 г

Так как по условию масса нитрата алюминия относится к массе воды как 7,1 : 60, то: 
m H₂O = m Al(NO₃)₃ · 60 / 7,1 = 42,6 · 60 / 7,1 = 360 г
n Al(OH)₃ = n Al(NO₃)₃ = 0,2 моль
m Al(OH)₃ = n Al(OH)₃ · M Al(OH)₃ = 0,2 · 78 = 15,6 г
n H₂S = 1,5n Al(NO₃)₃ = 1,5 · 0,2 = 0,3 моль
m H₂S = n H₂S · M H₂S = 0,3 · 34 = 10,2 г
n Ag₂S = n₂ Na₂S = 0,5x = 0,5 · 0,2 = 0,1 моль
m Ag₂S = n Ag₂S · M Ag₂S = 0,1 · 248 = 24,8 г
m_{итог. р-ра} = 31,2 + 42,6 + 360 – 15,6 – 10,2 + m_р-ра AgNO₃ – 24,8 = 680 г
m_р-ра AgNO₃ = 680 – 383,2 = 296,8 г

Найдем массу нитрата серебра(I):
n AgNO₃ = 2n₂ Na₂S = 2 · 0,5x = 2 · 0,5 · 0,2 = 0,2 моль
m AgNO₃ = n AgNO₃ · M AgNO₃ = 0,2 · 170 = 34 г

Найдем массовую долю нитрата серебра(I) в добавленном растворе:
ω AgNO₃ = m. AgNO₃  / m_р-ра AgNO₃ = 34 / 296,8 = 0,1146 (11,46%)