0,04                            0,04    0,04      0,04 моль
1. BaCl₂ + 2H₂O = H₂ + Cl₂ + Ba(OH)₂       (электролиз) 
         0,04                  0,04             0,04 моль
2. Ba(OH)₂ + Na₂CO₃ = BaCO₃ + 2NaOH 
     (0,5 - 0,04) 0,46                  0,46 моль
3. BaCl₂ + Na₂CO₃ = BaCO₃ + 2NaCl
m(p⁺¹₁) = 500 * 0,53 = 265 г
n(p⁺¹₁) = 265 моль
Пусть количество BaCl₂ = x моль; n(p⁺¹₁) в нем = (56 + 17 * 2) = 90х моль
m(BaCl₂) = 208х г
Пусть n(H₂O) = y моль; n(p⁺¹₁) в нем = (1 * 2 + 8) = 10 у моль; m(H₂O) = 18y г
n(газа) = 0,896 / 22,4 = 0,04 моль; n(H₂) = n(Cl₂) = 0,04 моль; 
n(Na₂CO₃) = 63,6 / 106 = 0,6 моль
Составим и решим систему уравнений: 
208х + 18y = 500
90х + 10y = 265 
х = 0,5 
n(BaCl₂) = 0,5 моль 
m(p-pa) конечн. = m(p-pa) исх. + m(Na₂CO₃) - (m(H₂) + m(Cl₂) + m(BaCO₃)) = 500 + 63,6 - (0,04 * 2 + 0,04 * 71 + (0,04 + 0,46) * 197) = 462,18 г 
w(Na₂CO₃) = (0,6 - 0,04 - 0,46) * 10,6 / 462,18 = 0,0229 (2,29%)
Ответ: 2,29%