Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
при всех значениях параметра
Уравнение можно переписать в виде
Рассмотрим два случая.
1)
В этом случае левая часть равна 0, а правая — нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
2)
Тогда
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай | 3 |
Рассмотрены случаи но допущена ошибка | 2 |
Верно рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
при всех значениях параметра
Уравнение можно переписать в виде
Рассмотрим два случая.
1)
В этом случае левая и правая части равны 0, следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной
2)
Тогда
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай | 3 |
Рассмотрены случаи но допущена ошибка | 2 |
Верно рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех значениях параметра :
Данное уравнение равносильно
Следовательно, если , то уравнение не имеет решений, если , то корнем уравнения является .
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех значениях параметра :
Данное уравнение линейного типа: .
1) Если , то уравнение примет вид , что не имеет решений.
2) Если , то уравнение примет вид . Решением будут .
3) Если , то корнем уравнения будет .
;
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите при всех значениях параметра уравнение
Уравнение можно преобразовать к виду . Оно является уравнением линейного типа. Нужно рассмотреть два случая:
1) Если , то есть , то уравнение примет вид . Данное уравнение не имеет решений.
2) Если , то уравнение можно преобразовать к виду – это и есть корень этого уравнения.
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:
|
|
|
Решим задачу переходом на плоскость параметра методом Для этого выразим из уравнения значение
Разделим уравнение на и вынесем общий множитель за скобку. В знаменателе применим формулу разности квадратов:
Рассмотрим первый случай В этом случае исходное уравнение превращается в
Данное уравнение является тождеством на ОДЗ, то есть у него есть корни, к примеру, следовательно, является частью ответа.
Рассмотрим второй случай для всех остальных допустимых значений параметра. Проверим, выполняются ли ограничения на ОДЗ.
|
|
|
|
Данная система верна для всех следовательно, нас устраивают все
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек | 3 |
С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ | 2 |
С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке
Запишем ограничения, определяющие ОДЗ уравнения:
Найдём корни уравнения:
Во второй строке совокупности записано однородное тригонометрическое уравнение первой степени . Если хотя бы одно слагаемое равно 0, то нулю равно и другое, и мы получаем противоречие с ОТТ.
Следовательно, ни синус, ни косинус не равны 0 и на одну из этих функций можно поделить обе части уравнения. Разделим второе уравнение на а обе части первого возведём в квадрат.
Рассмотрим уравнение Проанализируем систему, при всех решениях которой корень лежит как на данном отрезке, так и в ОДЗ:
Таким образом, корень нам подходит при
Рассмотрим уравнение Из всех корней данной серии на данный отрезок попадает только Проанализируем систему, при всех решениях которой корень лежит как на данном отрезке, так и в ОДЗ:
Таким образом, корень нам подходит при
Рассмотрим случай совпадения корней:
Проанализируем найденные промежутки:
1. При требованиям задачи удовлетворяет только один корень Это часть ответа.
2. При требованиям задачи удовлетворяют оба корня и Это не часть ответа, корней слишком много.
3. При корни и совпадают и требованиям задачи удовлетворяет только один уникальный корень Это часть ответа.
4. При требованиям задачи удовлетворяет только один корень Это часть ответа.
5. При требованиям задачи не удовлетворяет ни один корень. Это не часть ответа.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получены оба промежутка, входящие в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек | 3 |
С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ | 2 |
С помощью верного рассуждения получен один промежуток, входящий в ответ, с неверным включением—исключением концевых точек | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
при всех значениях параметра
Преобразуем исходное неравенство:
Неравенства данного вида решаются методом интервалов. Для этого нужно найти нули числителя и знаменателя. Нуль знаменателя нули числителя ищутся из уравнения В зависимости от знака это уравнение имеет или не имеет решений.
- 1.
- Если то уравнение не имеет решений. Решим в таком
случае неравенство
Получим
- 2.
- Если то решением уравнения будет Решим в
таком случае неравенство
Получим
- 3.
- Если то решением уравнения будут и
Заметим, что следовательно, нули числителя и
знаменателя однозначно располагаются друг относительно друга. Решим в
таком случае неравенство
Получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
при всех значениях параметра
Неравенство линейное. Перепишем неравенство в виде
- 1.
- Пусть
Тогда неравенство имеет вид что неверно ни при каком Следовательно, решение неравенства в этом случае
- 2.
- Пусть
Тогда поделим обе части неравенства на знак неравенства при этом не поменяется:
Решением неравенства в этом случае будут
- 3.
- Пусть
Тогда поделим обе части неравенства на знак неравенства при этом поменяется:
Решением неравенства в этом случае будут
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство при всех
Данное неравенство равносильно
Получаем систему из двух неравенств
1) Рассмотрим . Тогда получим
Тогда , следовательно, решением системы является .
2) Рассмотрим . Тогда получим
3) Рассмотрим . Тогда
Тогда , следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите при всех значениях параметра уравнение
Данное уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая.
1) то есть
При уравнение примет вид Решений у такого уравнения нет.
При уравнение примет вид Решением такого уравнения являются
2) то есть
Тогда уравнение можно переписать в виде
Это и есть корень данного уравнения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите при всех значениях параметра уравнениие .
Нужно определить, при каких данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.
Данное уравнение квадратного типа при всех таких, что (ведь по определению уравнение квадратное, если ). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.
1) Пусть , то есть . Тогда уравнение принимает вид . Решением данного уравнения будет . Следовательно, при уравнение имеет единственное решение .
2) Пусть , то есть . Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).
Найдем дискриминант: .
2.1) Итак, если , то уравнение не имеет решений:
Решением данного неравенства будут . При этих значениях уравнение не имеет решений.
2.2) Если , то есть , то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения с корень можно искать по формуле абсциссы вершины:
При получаем
При получаем
2.3) Если , то есть , то уравнение имеет два решения:
Учитывая, что , то получаем .
Важно не забыть, что случай 2.2 рассматривается при , то есть в подслучаях 2.1, 2.2, 2.3 мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.
;
;
;
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
при всех значениях параметра
Перепишем уравнение в виде
1) Если то система равносильна
Данная система не имеет решений.
2) Если то система равносильна
Если то есть когда то система не имеет решений.
Если то система имеет решение
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай или | 3 |
Рассмотрены случаи но либо допущена вычислительная ошибка, либо не учтена ОДЗ | 2 |
Верно рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
при всех значениях параметра .
Рассмотрим два случая:
1) . Тогда уравнение примет вид:
Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях .
2) . Тогда данное уравнение равносильно системе:
Дискриминант первого уравнения . Таким образом, при всех , значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):
Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что ):
2.1) . Тогда система равносильна:
Таким образом, исходное уравнение при имеет один корень .
2.2) . В этом случае система равносильна:
Данная система будет иметь один корень, если какой-то из или совпадет с , и два корня, если ни один из них не совпадет с .
2.2.1) Какой-то из или совпал с .
Решая уравнение , получим . Следовательно, при уравнение имеет один корень .
Решая уравнение , получим . Но в нашем случае , следовательно, .
2.2.2) Ни один из или не совпал с . Значит, при и система будет иметь два корня: .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при которых все решения уравнения удовлетворяют неравенству .
Уравнение можно переписать в виде . Это уравнение линейного типа.
1) Если , то уравнение примет вид . Решений у такого уравнения нет. Следовательно, это значение параметра нам не подходит, так как не удовлетворяет .
2) Если , то корень уравнения . Проверим, когда он удовлетворяет условию :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При всех значениях параметра решите неравенство
Данное неравенство линейного типа. Хотелось бы разделить обе части неравенства на но мы не имеем права этого делать, пока не уверены в том, что К тому же при делении обеих частей неравенства на число мы обязаны учитывать знак числа, чтобы определить, менять знак неравенства или нет. Поэтому рассмотрим несколько случаев.
1) откуда
Если то неравенство примет вид Это верно для любого
Если то неравенство примет вид Это не верно ни для какого
2) откуда
Тогда можно разделить обе части неравенства на причем знак неравенства менять не нужно. Получим
3) откуда
Тогда можно разделить обе части неравенства на но знак неравенства менять нужно. Получим
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай | 3 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев / либо рассмотрены оба случая, но есть ошибка при решении неравенства | 2 |
Верно рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех значениях параметра :
Правую часть уравнения можно переписать в виде . Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: и .
1) . Тогда , откуда . Следовательно, . Тогда уравнение примет вид
Таким образом, при решением уравнения будут .
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех . Таким образом, при уравнение не имеет решений.
2) , то есть . Тогда уравнение линейное и можно выразить :
;
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите при всех значениях параметра уравнение
При уравнение не имеет решений, так как левая часть неотрицательна. При уравнение
равносильно и также не имеет решений.
При уравнение равносильно
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите при всех значениях параметра уравнение
Данное уравнение можно переписать в виде при условии, что Следовательно, получаем систему
Если то корень удовлетворяет условию то есть система имеет единственное решение
Если то корень не удовлетворяет условию то есть система не имеет решений.
Решением неравенства являются все Следовательно, при всех исходное уравнение имеет единственное решение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
при всех значениях параметра .
Рассмотрим два случая:
1) . Тогда уравнение принимает вид
2) . Заметим, что не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на :
Полученное уравнение с помощью замены сводится к квадратному уравнению , корнями которого являются и . Сделаем обратную замену: