Тема 15. Решение неравенств
15.03 Рациональные неравенства и метод интервалов
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1791

Решите неравенство

x4 +-4x3 +-6x2 +-8x-+-8-  ---------5 −-x2---------
        x2 − 5          − x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8 ≥  2.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{
  x2 − 5 ⁄= 0
   4     3     2
  x  + 4x  + 6x  + 8x + 8 ⁄= 0
Подробнее рассмотрим левую часть второго неравенства из ОДЗ:

 4     3     2               4     3     2      2
x  + 4x  + 6x  + 8x + 8 = (x  + 4x  + 4x  ) + (2x + 8x + 8) =
 = x2(x2 + 4x + 4) + 2(x2 + 4x + 4) = (x2 + 2)(x2 + 4x + 4) = (x2 + 2)(x + 2 )2.

Таким образом, ОДЗ:

{
  x ⁄= ± √5--

  x ⁄= − 2.
Исходное неравенство равносильно неравенству

x4 +-4x3 +-6x2 +-8x-+-8-  ---------x2-−-5---------
        x2 − 5          + x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8 ≥  2.

Обозначим

x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8
----------2-------------=  y
         x  − 5
Тогда последнее неравенство на ОДЗ примет вид

    1-
y + y ≥  2.        (∗)

Рассмотрим три случая:
1) y > 0  , тогда неравенство (∗)  равносильно

 2                       2                                2
y  + 1 ≥ 2y     ⇔       y −  2y + 1 ≥ 0     ⇔      (y − 1)  ≥ 0,
то есть все y > 0  являются его решениями (так как z2 ≥ 0  – при любом z  ).
2) y = 0  , тогда левая часть неравенства (∗)  не определена.
3) y < 0  , тогда неравенство (∗)  равносильно
y2 + 1 ≤ 2y     ⇔       y2 − 2y + 1 ≤ 0     ⇔      (y − 1)2 ≤ 0,
но при y ⁄= 1  выполнено        2
(y − 1) >  0  , то есть среди y < 0  решений нет.

 

Таким образом, на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8                 (x2 + 2)(x + 2)2
----------2-------------> 0     ⇔       ------2--------->  0.
        x  − 5                               x −  5

Числитель последнего неравенства положителен на ОДЗ, тогда оно (а, значит, и исходное неравенство) на ОДЗ равносильно неравенству

x2 − 5 > 0,
решениями которого будут             √ --   √ --
x ∈ (− ∞; −   5) ∪ ( 5;+ ∞ ).
Пересечём его решения с ОДЗ:
           √ --    √ --
x ∈ (− ∞; −  5) ∪ (  5;+ ∞ ).
Ответ:

        √ --   √ --
(− ∞; −   5) ∪ ( 5;+ ∞ )

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!