а) Пусть и — середины ребер и соответственно, — точки пересечения медиан граней и соответственно.

Рассмотрим плоскость в которой лежат точки и Проведем прямые и и отметим на них точки и соответственно так, чтобы и были серединами отрезков и Пусть Так как по свойству медиан то по теореме Менелая для треугольника и секущей имеем:

Так как каждый из отрезков и определен одним и тем же образом, то получаем, что отрезки и тоже делят отрезок в отношении то есть проходят через точку Что и требовалось доказать.

б) По теореме Менелая, поступая, как в пункте а), получаем

Тогда

Заметим, что следовательно

Аналогично получаем, что

Значит, с коэффициентом подобия

Пусть — перпендикуляры к плоскости Так как то Так как то Для точек и все аналогично. Тогда

Это значит, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от плоскости следовательно, и расстояние между ними равно

Пусть Тогда так как то получаем Следовательно, если — длина перпендикуляра, опущенного из на то

Тогда