а) Так как то плоскость (будем называть ее ) пересечет нижнее основание призмы по прямой Следовательно, — сечение призмы плоскостью

Рассмотрим в нем лежат и Докажем, что Отсюда последует, что так как

Так как — прямоугольник, то — середина его диагонали Рассмотрим нижнее основание призмы. Так как делит угол пополам, то — биссектриса в равнобедренном проведенная к основанию, значит, она же и медиана, то есть — середина

Таким образом, — средняя линия в следовательно, и Что и требовалось доказать.

б) Так как то искомое расстояние равно

где — произвольная точка прямой Выберем для поиска расстояния точку

Заметим, что лежит на прямой параллельной следовательно,

где — произвольная точка прямой Таким образом, расстояние от до равно расстоянию от точки до

Выберем точку как середину отрезка Пусть также — середины и соответственно. То есть

Так как прямая параллельна боковому ребру призмы, то она перпендикулярна основаниям призмы. Так как по свойству правильного шестиугольника то по теореме о трех перпендикулярах следовательно, Также Следовательно, перпендикулярна плоскости, построенной на прямых и — плоскости которая сечет призму по четырехугольнику

Проведем Учитывая, что получаем, что Следовательно, так как

Таким образом, длина — искомое расстояние

Точка — середина отрезка равного следовательно, пользуясь теоремой косинусов для равнобедренного с углом против основания

Заметим, что и — середины б´ольших диагоналей правильных шестиугольников, следовательно, это их центры. Тогда параллельна боковому ребру призмы, то есть перпендикулярна основаниям, и равна боковому ребру, то есть высоте призмы (ведь призма правильная).

Получили прямоугольный в котором к гипотенузе проведена высота Она равна