Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)
3.06 Правильная и прямоугольная пирамиды
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2295

EABCD  – прямоугольная пирамида (отрезок BE  перпендикулярен плоскости основания (ABCD   )  ), ABCD  – параллелограмм со сторонами a  , b  , причем

             ∘                -------ab ⋅ sin-77∘----
∠BCD    = 77 ,         BE   = √a2--+-b2 +-2ab ⋅ cos-77∘.
Найдите угол между плоскостями (ABCD   )  и (ACE   )  . Ответ дайте в градусах.
Показать ответ и решение

Построим BK  перпендикулярно AC  , как показано на рисунке.
 
PIC

 

Так как BK  – проекция EK  на плоскость (ABCD   )  , то по теореме о трех перпендикулярах    EK  перпендикулярен AC  , следовательно, угол между плоскостями (ABCD   )  и (ACE  )  есть ∠BKE  .

Найдем BK  :
рассмотрим параллелограмм ABCD  . С одной стороны, его площадь

SABCD  = ab ⋅ sin77 ∘.
С другой стороны, его площадь равна удвоенной площади треугольника ABC  , то есть
SABCD   = BK  ⋅ AC.
Найдем AC  , используя теорему косинусов для треугольника ACD  :
AC2  = a2+b2 − 2ab⋅cos∠ADC    = a2+b2 − 2ab ⋅cos(180 ∘− ∠BCD  ) = a2+b2+2ab  ⋅cos∠BCD    = a2+b2+2ab  ⋅cos 77∘,
откуда       √ ---------------------
AC  =   a2 + b2 + 2ab ⋅ cos77∘ .

Приравняв площади параллелограмма, получим:

                   √ ---------------------
ab ⋅ sin 77∘ = BK ⋅   a2 + b2 + 2ab ⋅ cos77∘,
откуда
              ab ⋅ sin 77∘
BK   = √---2---2-------------∘ = BE,
         a  + b  + 2ab ⋅ cos77
тогда треугольник BKE  прямоугольный равнобедренный, откуда ∠BKE    =  45∘ .
Ответ: 45

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!