Тема 18. Задачи с параметром
18.03 Задачи формата ЕГЭ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86492

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

ax2 = |2x − 1|√2x−-1+ |x− 1|√4x-−-1

имеет хотя бы один корень. В ответ укажите наибольшее значение a.

Показать ответ и решение

Уравнение определено при x≥ 1.
   2  Также стоить заметить, что при a< 0  уравнение не имеет решений, так как левая часть ≤ 0,  правая ≥0  и не существует такого x,  при котором они одновременно равны нулю. Следовательно, a ≥0.

Перепишем уравнение в виде

ax2 = ∘ (2x-−-1)3+ ∘ (x−-1)2(4x−-1)
     ◟----------=◝g◜(x)----------◞

При x→  +∞ имеем g(x)→ +∞.  Исследуем производную этой функции.

       ∘-------------------
 ′     -(2x−-1)(x-− 1)2(4x-−-1)-+3(x−-1)(2x-− 1)-
g (x) =           ∘ (x− 1)2(4x− 1)

Найдем нули производной:

 ∘ -------------------
   (2x− 1)(x− 1)2(4x− 1)= −(x − 1)(2x − 1)
(            2              2      2
{ (2x − 1)(x− 1)(4x− 1)= (x− 1)(2x− 1)
( (x − 1)(2x− 1)≤ 0
             (
             |{ x = 1;1
             |( 1   2
               2 ≤ x≤ 1
                x=  1;1
                    2

Производная положительна на всей области определения, следовательно, g(x)  — возрастает при всех    1
x≥ 2 .

Изобразим график функции g(x)  и график функции f(x)= ax2  при таком a,  при котором они пересекаются хотя бы в одной точке.

xyyy ==gf(x(x))

Такое положение параболы задается следующим условием: f(12)≤ g(12),  откуда a ≤ 2.  Следовательно, наибольшее a  равно 2.

Ответ:

a ∈{2}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!