Задачи №23 из банка ФИПИ —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 23. Геометрическая задача на вычисление

23.01 Задачи №23 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на вычисление

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57402

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 14,$ $DC =42,$ $AC = 52.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD :$ $∠AMB = ∠DMC$ как вертикальные, $∠ABM =∠CDM$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $DB.$ Значит, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AM--= MB--= AB- CM MD CD

Пусть $MC = x.$ Тогда

AM = AC − MC = 52− x

Из отношения подобия треугольников $AMB$ и $CMD$ получаем:

52-− x = 14 x 42 52−-x= 1 x 3 (52− x)⋅3= x 52 ⋅3− 3x = x 52⋅3 =4x 52⋅3 x = -4--= 39

Значит, $MC = 39.$

Ответ: 39

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42864

Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найдите $MC,$ если $AB = 14,$ $DC =56,$ $AC = 40.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM.$ В них $∠ABD = ∠CDB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC,$ а $∠AMB =∠CMD$ как вертикальные.

Тогда $△ ABM ∼ △CDM$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB-= AM--= BM-- CD CM DM

Пусть $CM = x.$ Так как $AC =14$ по условию, то

AM = AC − CM = 40− x

Тогда

14 40−-x 56 = x ⇔ 14x= 56⋅(40− x) ⇔ ⇔ x= 160− 4x ⇔ 5x= 160 ⇔ x = 32

Значит, $CM = 32.$

Ответ: 32

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58606

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =15,$ $AC = 25,$ $NC = 22.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда $BC = BN + NC = x +22.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC.$ Так как $∠ABC$ — общий, $∠BMN = ∠BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC$ и $MN$ и секущей $AB,$ то треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

MN--= BN-- AC BC 15 = --x-- 25 x+ 22 3= --x-- 5 x+ 22 3x+ 66= 5x 2x =66 x= 33

Тогда $BN = 33.$

Ответ: 33

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#57403

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =13,$ $AC = 65,$ $NC = 28.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда $BC = BN + NC = x +28.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC.$ Так как $∠ABC$ — общий, $∠BMN = ∠BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC$ и $MN,$ то треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

MN--= BN-- AC BC 13 = --x-- 65 x+ 28 1= --x-- 5 x+ 28 x+ 28= 5x 4x =28 x =7

Тогда $BN = 7.$

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38484

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH :$

$PIC$

В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора

AB2 = AC2 + CB2 =182+ 242 = 62⋅32+ 62⋅42 = ( ) = 62⋅ 32+ 42 = 62⋅52 ⇒ AB = 6⋅5= 30

Найдём $CH$ несколькими способами.

Способ 1.

Из прямоугольного треугольника $ABC :$

sin∠B = AC- = 18= 3 AB 30 5

Из прямоугольного треугольника $CHB :$

CH- 3 CH- sin∠B = CB ⇒ 5 = 24 3⋅24 72 CH = -5--= -5

Способ 2.

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

1AC ⋅CB = 1 CH ⋅AB 2 2 CH = AC-⋅CB- = 18⋅24= 72- AB 30 5

Способ 3.

Рассмотрим треугольники $CHB$ и $ACB.$ Так как $∘ ∠CHB = ∠ACB = 90$ и $∠B$ — общий, то треугольники $CHB$ и $ACB$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

CH- = HB-= CB- AC CB AB CH = AC-⋅CB-= 18⋅24 = 72= 14,4 AB 30 5

Ответ: 14,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32025

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Воспользуемся методом площадей: посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

(| 1 |{ SABC = 2 ⋅AC ⋅BC, || 1 ( SABC = 2 ⋅AB ⋅AH; AC ⋅BC =AB ⋅AH; AC ⋅BC AH = --AB---.

$PIC$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

AB2 = AC2+ BC2; ∘ --2----2 ∘-2---2 AB = 15 + 20 = 5 3 + 4 = 5⋅5 = 25.

Тогда

AC ⋅BC 15⋅20 AH = --AB---= --25- = 12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#57404

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH.$

$PIC$

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

AB2 =AC2 + BC2

Тогда

CB2 = AB2 − AC2 = 512− 242 = = (51 − 24)⋅(51+ 24)= 27 ⋅75

Значит,

√ ----- ∘-------------- CB = 27 ⋅75 = (3⋅3 ⋅3)⋅(3⋅25)= =3 ⋅3⋅5= 45

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

1AC ⋅CB = 1 CH ⋅AB 2 2 AC ⋅CB = CH ⋅AB CH = AC-⋅CB-= 24-⋅45 = 360 AB 51 17

Ответ:

$360 17$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#43940

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $CH$ — высота, то

∘ ∠AHC = ∠CHB = 90

$PIC$

Найдем $BC$ по теореме Пифагора:

AB2 =AC2 + BC2

Тогда

BC = ∘AB2-−-AC2-= ∘752-− 212 = √ --------- √---- = 5625− 441 = 5184= 72

Рассмотрим треугольники $AHC$ и $ACB.$ $∘ ∠AHC = ∠ACB = 90 ,$ $∠A$ — общий. $△ AHC ∼ △ACB$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

AH- = AC-= HC- AC AB CB AC--⋅BC- 21⋅72 HC = AB = 75 =20,16

Ответ: 20,16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#57405

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC.$ Найдите $AB,$ если $AH = 5,$ $AC = 45.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Способ 1.

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $ACB.$ Так как $∠A$ — общий, $∠AHB = ∠ABC = 90∘,$ то треугольники $ABH$ и $ACB$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AB-= BH-= AH- AC CB AB AB2 = AC ⋅AH = 45⋅5= 9 ⋅5 ⋅5 AB = 3⋅5 = 15

Способ 2.

Найдём $HC :$

HC = AC − AH =45 − 5 = 40

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе:

2 BH = AH ⋅HC = 5⋅40= 200

В треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора:

AB2 = AH2 + BH2 = 25+ 200= 225 AB = 15

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31922

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC.$ Найдите $AB,$ если $AH = 9,$ $AC = 36.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $AHB$ и $ABC.$ В них $∘ ∠ABC = ∠AHB = 90$ по условию, а $∠BAC$ — общий. Тогда $△ AHB ∼ △ABC$ по двум углам.

$PIC$

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответственных сторон, тогда:

AH AB k = AB- = AC- 2 2 2 2 AB = AH ⋅AC = 9⋅36 =3 ⋅6 =18

Следовательно, $AB = 18.$

Ответ: 18

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#55644

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 25,$ $BC = 15,$ $CF :DF = 3:2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём диагональ $AC.$ Пусть $CF = 3x.$ Так как $CF- = 3, F D 2$ то $FD = 2x.$ Тогда

CD = CF + FD = 3x+ 2x= 5x

$PIC$

Рассмотрим треугольники $KCF$ и $ACD.$ Так как $∠ACD$ — общий, $∠CKF = ∠CAD$ как соответственные углы при $KF ∥ AD,$ то треугольники $KCF$ и $ACD$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

KF CF AD- = CD- KF 3x -25 = 5x KF- = 3 25 5 KF = 25⋅3= 15 5

Так как $BC ∥ EF ∥AD,$ то по теореме Фалеса

CF- = BE-= 3 FD EA 2

Пусть $EB = 3y,$ тогда $AE = 2y.$ Найдём $AB :$

AB = AE + EB = 2y+ 3y = 5y

Рассмотрим треугольники $EAK$ и $BAC.$ В них $∠BAC$ — общий, $∠AKE = ∠ACB$ как соответственные углы при $EF ∥BC.$ Запишем отношение подобия:

EK--= AE- BC AB EK-- 2y 15 = 5y EK 2 15--= 5 EK = 2-⋅15 = 6 5

Найдём длину отрезка $EF :$

EF = EK + KF = 6+ 15 = 21

Ответ: 21

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#27827

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD,$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF,$ если $AD = 35,$ $BC = 21,$ $CF :DF = 5:2.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем диагональ трапеции $BD.$ Пусть $EF$ пересекает $BD$ в точке $O.$ Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OF D.$ Они подобны по двух углам: $∠OF D = ∠BCD$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $EF$ и $BC$ и секущей $CD,$ $∠BDC$ — общий. Тогда

OF- = DF-= ---DF--- = 2 BC DC DF +F C 7 2 2⋅21 OF = 7BC = 7 = 6

Заметим, что в трапеции $ABCD$ $BE :EA =CF :FD = 5:2,$ так как $EF ∥ AD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO.$ Аналогично получим, что они подобны по двум углам, так как $EF ∥AD.$ Тогда

EO BE BE 5 AD- = BA-= AE--+BE- = 7 EO = 5AD = 5-⋅35 = 25 7 7

Тогда

EF = EO + OF = 25+ 6= 31

Ответ: 31

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#57406

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30∘$ и $135∘,$ а $CD = 29.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $CH ⊥ AD.$ Так как $BC ∥ AD,$ то $CH ⊥BC.$ Значит, $∠BCH = 90∘.$ Тогда

∠HCD = ∠BCD − ∠BCH =135∘− 90∘ = 45∘

$PIC$

Рассмотрим треугольник $CHD.$ Так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90∘,$ то

∠HDC = 90∘ − ∠HCD =90∘− 45∘ = 45∘

Тогда в треугольнике $CHD$ $∘ ∠HCD = ∠HDC = 45,$ следовательно, треугольник $CHD$ равнобедренный и $CH = HD.$ В этом треугольнике:

sin ∠CDH = CH- CD sin45∘ = CH CD √2- CH -2-= -29 √- CH = 29-2- 2

Проведём $AM ⊥ BC.$ Так как высоты трапеции равны, то

29√2 AM = CH = -2---

Треугольник $BMA$ прямоугольный с $∘ ∠MBA = 30 .$ В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $∘ 30,$ равен половине гипотенузы:

AM = 1AB 2 √ - 29-2- √ - AB = 2AM = 2 ⋅ 2 =29 2

Ответ:

$√- 29 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45344

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $120∘,$ а $CD = 34.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $BH$ и $CK.$ Так как $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, то $BH = CK.$

Так как $BC ∥ AD$ и сумма односторонних углов равна $180∘,$ то

∠CDK =180∘− ∠BCD = 180∘− 120∘ =60∘

Так как $BC ∥ AD$ и накрест лежащие углы равны, то

∠BAH = ∠ABC = 45∘

$PIC$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нем $∘ ∠CKD = 90 ,$ тогда

CK- = sin∠CDK CD ∘ √3 √ - CK = CD ⋅sin 60 =34 ⋅2--= 17 3

Рассмотрим треугольник $BHA.$ Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $∘ 90 ,$ то

∠HBA = 90∘ − ∠BAH = 90∘− 45∘ = 45∘

Значит, треугольник $HBA$ — равнобедренный, то есть

- AH =BH = CK = 17√3

В треугольнике $HBA$ по теореме Пифагора

AB2 = AH2 + BH2

Тогда

∘ ---------- AB = AH2 + BH2 = ∘ (----)---(----)-- = 17√3 2+ 17√3 2 = ---------- - = √2⋅17⋅17⋅3 = 17√ 6

Ответ:

$√- 17 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#61043

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 8,$ $CK = 13.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABK.$ В нем $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса $∠BAD.$

С другой стороны, $∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AK,$ значит, $∠BAK =∠BKA,$ то есть $△ ABK$ — равнобедренный, и $AB = BK = 8.$

$PIC$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $AB =CD$ и $BC =AD.$ Тогда

P =AB +BC + CD +AD = ABCD = 2(AB + BC )= 2(AB +BK + CK )= = 2(8+ 8+ 13) =2 ⋅29 = 58

Ответ: 58

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#57407

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K.$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 6,$ $CK = 10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠BKA = ∠KAD$ как накрест лежащие при $BC ∥AD$ и секущей $AK.$ $∠BAK = ∠KAD,$ так как $AK$ — биссектриса $∠BAD.$ Тогда

∠BAK = ∠KAD = ∠BKA

Значит, треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AB = BK = 6.$ Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то

AB = CD = 6 AD =BC = BK + KC = 6+ 10= 16

Найдём периметр параллелограмма:

PABCD =AB +BC + CD +AD = = 2(AB + BC )= 2⋅(6+ 16)= 2⋅22= 44

Ответ: 44

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#57408

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 12,$ $BF =9.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $∠BAD = 2x.$ Так как $AF$ — биссектриса $∠BAD,$ то

∠BAF = ∠FAD =x

Пусть $∠ABC = 2y.$ Так как $BF$ — биссектриса $∠ABC,$ то

∠ABF = ∠CBF =y

$PIC$

Сумма односторонних углов равна $180∘,$ поэтому

∠BAD +∠ABC = 180∘ ∘ 2x +2y = 180 x+ y = 90∘

В треугольнике $ABF$ по теореме о сумме углов треугольника

∠AF B = 180∘ − ∠ABF − ∠BAF = ∘ ∘ = 180 − (x + y) = 90

Значит, треугольник $ABF$ прямоугольный. По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 AB = AF + BF = 12 +9 = = 144+ 81= 225= 152

Тогда $AB =15.$

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#27836

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 15,$ $BF =8.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что $∘ ∠ABC + ∠DAB = 180,$ так как $BC ∥AD.$ Тогда

1 1 ∠F AB + ∠ABF = 2∠DAB + 2∠ABC = 1 180∘ ∘ = 2 (∠DAB + ∠ABC )= --2- =90

По сумме углов в треугольнике $ABF :$

∠AF B = 180∘ − (∠F AB + ∠ABF )= 180∘− 90∘ =90∘

$PIC$

Значит, $△ ABF$ — прямоугольный, по теореме Пифагора

AB2 = AF 2+BF 2 ∘--2---2 √ --- AB = 15 + 8 = 289 = 17

Ответ: 17

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#83027

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $65∘$ и $85∘.$ Найдите $BC,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 14.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ поэтому

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠B − ∠C = 180 − 65 − 85 =30 .

$PIC$

Тогда по теореме синусов,

-BC--- sin∠A = 2R BC sin30∘ = 2⋅14 1 BC = 2⋅14⋅sin30∘ = 2⋅14⋅2 = 14

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#26593

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $∘ 66$ и $∘ 84 .$ Найдите $BC,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ равен 15.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

В треугольнике $ABC$ известны два угла, то есть можем найти оставшийся угол

∘ ∘ ∘ ∘ ∠CAB = 180 − 66 − 84 =30 .

Тогда центральный угол $∠COB,$ опирающийся на ту же дугу, равен $∘ 60 .$

При этом $OB = OC$ как радиусы. Тогда треугольник $COB$ — равнобедренный, причем угол при вершине равен $∘ 60 .$ Тогда угла при основании этого треугольника тоже $60∘$ и он равносторонний, откуда $BC = BO =15.$

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел