1) (НА)ПРОТЯЖЕНИИ (НА ПРОТЯЖЕНИИ – производный предлог, имеет значение «в ходе, в течение чего-либо», всегда пишется раздельно, запомнить) всей недели Сергей усиленно готовился к экзамену, а (ЗА)ТЕМ (в данном случае ЗАТЕМ – наречие, имеет значение «после», пишется слитно) уехал на соревнования по горным лыжам.

2) (В)СЛЕД (в данном случае ВСЛЕД (за) – производный предлог, имеет значение «следом за чем-либо», равен предлогу ЗА; пишется слитно) за своим хозяином (ТОТ)ЧАС (в данном случае ТОТЧАС – наречие, имеет значение «сразу, в этот момент», пишется слитно) стремительно побежал и верный пёс.

3) В романе И.А. Бунина «Жизнь Арсеньева» поэзия и проза слились (ВО)ЕДИНО (ВОЕДИНО – наречие, всегда пишется слитно, запомнить), ЧТО(БЫ) (в данном случае ЧТОБЫ – союз, пишется слитно, имеет значение цели) глубже раскрыть внутренний мир человека.

4) (ОТ)ТОГО (ОТ ТОГО – предлог с указательным местоимением, можно задать вопрос «от какого именно места?», пишется раздельно) места, где они распрощались с Бруком, их отделяли теперь по меньшей мере пять километров, (ПО)ЭТОМУ (в данном случае ПОЭТОМУ – наречие, пишется слитно, имеет значение следствия) возвращаться назад не было уже никакого смысла.

5) (ПО)МИМО (ПОМИМО – производный предлог, имеет значение «кроме», всегда пишется слитно, запомнить) отличного качества и тщательной проверки аппаратуры, в процессе работы над макетным образцом спутника мы ТАК(ЖЕ) (в данном случае ТАКЖЕ – наречие, пишется слитно, по смыслу можно заменить на «вместе с тем», «в равной мере») требовали от разработчиков высокой культуры производства и оформления.