Неравенства на Изумруде —Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Неравенства на Изумруде

Тема Изумруд

Неравенства на Изумруде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела изумруд

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79615

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что

2 2 2 a + b +c + 2abc= 1

Докажите, что

a∘ (1− b2)(1-− c2)+b∘ (1−-c2)(1−-a2)+c∘(1−-a2)(1−-b2)≥ 2√abc

Источники: Изумруд-2024, 11 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим подкоренные выражения. Что можно сказать о них? Как использовать условие?

Подсказка 2

Раскрыв скобки под корнями и применив условие, получаем возможность избавиться от корней! Переходим к новому неравенству - очень уж оно напоминает условие;)

Подсказка 3

Получаем, что a^2 + b^2 + c^2 + 3 abc >= 2*sqrt(abc). Как применить условие? Остаётся несложно неравенство, которое очень напоминает кое-что известное!

Показать доказательство

Рассмотрим одно из подкоренных выражений

( 2)( 2) 2 2 22 1− b 1− c = 1− b − c + bc

По условию $1− b2− c2 = a2+2abc$ , поэтому подкоренное выражение равно $(a+ bc)2$ , и, так как $a,b,c> 0$ , $∘ (a+-bc)2 = a+bc$ .

Для оставшихся слагаемых рассуждения аналогичные

√ --- a(a +bc)+b(b+ac)+c(c+ab)≥ 2 abc

2 2 2 √--- a + b + c+ 3abc≥ 2 abc

Пользуясь равенством из условия, получаем

1+abc≥ 2√abc

--- (1 +√ abc)2 ≥0

Верное для любых $a,b,c$ неравенство.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел