Грамматические основы 

Союзы 

Придаточные части выделены разными цветами

Павел Петрович встретил княгиню Р. (,) чьё появление в петербургском свете было редким (,) на одном балу протанцевал с ней мазурку (,) в течение (4) которой (5) она не сказала ни одного путного слова (,) и влюбился в неё страстно.

В предложении 3 грамматические основы: «Павел Петрович встретил, протанцевал, влюбился»; «появление было редким»; «она не сказала». 

Запятые в цифрах 1 и 2 выделяют придаточную часть с «ЧЬЁ» (стоит внутри главной части): княгиню Р. (какую?), чьё появление в петербургском свете было редким.

Запятые в цифрах 3 и 6 выделяют придаточную часть с «КОТОРОЙ» (стоит внутри главной части): мазурку (какую?), в течение которой она не сказала ни одного путного слова.

Запятые в цифрах 4 и 5 не ставятся, так как нет условий и придаточная часть ещё не закончена (союзное слово «который» часто стоит не в самом начале придаточного предложения).