1) Доктор согласился быть моим секундантом, я дал ему ТАК(ЖЕ) (в данном случае ТАКЖЕ – наречие, пишется слитно, по смыслу можно заменить на «вместе с тем», «в равной мере») несколько наставлений (НА)СЧЁТ (в данном случае НАСЧЁТ – производный предлог, имеет значение «относительно чего-либо», синонимичен предлогу О, пишется слитно) условий поединка.

2) Можно (ПО)РАЗНОМУ (ПО-РАЗНОМУ – наречие; наречия с приставкой ПО- и суффиксом -ОМУ- пишутся через дефис) объяснить смысл сна Раскольникова, но (ПО)НАЧАЛУ (в данном случае ПОНАЧАЛУ – наречие, пишется слитно; пишутся слитно наречия с временным значением, имеющие в составе существительное НАЧАЛО; сравните: по началу (чего?) фильма было понятно, что он скучный) может показаться, что перед нами добрый и милосердный человек.

3) (НА)УТРО (в данном случае НАУТРО – наречие, отвечает на вопрос «когда?», можно заменить словом «утром», пишется слитно; сравните: на утро была запланирована прогулка, на вечер – поход в кино) температура у больного была уже пониже, общее состояние лучше, но хрипы всё ТЕ(ЖЕ) (ТЕ ЖЕ – сочетание указательного местоимения и частицы; всегда пишутся раздельно).

4) Остап спрятал под пиджак свой маузер и беспрепятственно выбрался из подвала, с тем чтобы снова начать борьбу не (НА)ЖИЗНЬ (НА ЖИЗНЬ – сочетание предлога с существительным; всегда пишутся раздельно), а (НА)СМЕРТЬ (в данном случае НА СМЕРТЬ входит в состав устойчивого выражения «не на жизнь, а на смерть», потому пишется раздельно и рассматривается как сочетание предлога с существительным; однако наречие «насмерть» (= сильно/так, что наступает смерть) пишется слитно: стоять насмерть; запомнить) с бандитами.

5) (НА)ПРОТЯЖЕНИИ (НА ПРОТЯЖЕНИИ – производный предлог, имеет значение «в ходе, в течение чего-либо», всегда пишется раздельно, запомнить) полутора столетий происходило постепенное территориальное расширение вотчины московских князей (ЗА)СЧЁТ (ЗА СЧЁТ – производный предлог, пишется всегда раздельно, запомнить) других княжеств.