1) Через много лет И.Е. Репин вспомнил то время, когда В.Г. Короленко позировал ему, и снова НЕ ПРЕМИНУЛ восхвалить его скромность. — глагол (= не упустить возможность); пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется)

2) НЕДАРОМ Пушкина считают великим национальным поэтом, «солнцем русской поэзии». — наречие; в значении «неслучайно» пишется слитно с НЕ (сравните: «не даром, а за деньги»), запомнить 

3) В это НЕЗАБЫВАЕМОЕ утро у адвоката в руках была иллюстрированная газета с изображениями разных замечательных людей и событий. — полное отглагольное прилагательное, оканчивающееся на -МЫЙ («незабываемый»), образованное от переходного глагола несовершенного вида, не имеет пояснительных слов, а потому подчиняется правилам, характерным для отымённых прилагательных: в данном случае нет противопоставления с союзом «А» и пояснительных слов, усиливающих отрицание (местоимений и наречий, начинающихся с НИ/сочетаний «далеко не», «вовсе не», «отнюдь не»), потому это слово пишется с НЕ слитно (обычно без НЕ оно не употребляется); запомнить!

4) И он сейчас же понял, что вот именно этого совершенно НЕЗАЧЕМ было говорить. — местоимённое наречие (= напрасно); образовано от слова «зачем» (а не от местоимения «что»), пишется с НЕ слитно, запомнить (вопросительные слова пишутся с НЕ слитно)

5) Вера Николаевна НЕ ОЧЕНЬ постарела за это время. — наречие; пишется раздельно с НЕ (так как не оканчивается на -О/-Е и не является местоимённым отрицательным)