корень слова выделен голубым цветом 

1) предЫстория (после русской приставки, оканчивающейся на согласную (ПРЕД-), пишется буква «Ы» вместо «И»), безЫдейный (после русской приставки, оканчивающейся на согласную (БЕЗ-), пишется буква «Ы» вместо «И»), обЫндеветь (после русской приставки, оканчивающейся на согласную (ОБ-), пишется буква «Ы» вместо «И»)

2) прИстать (пишется приставка ПРИ- в значении «присоединение»), прЕуспеть (пишется приставка ПРЕ- в значении «очень»), прЕподаватель (сейчас приставка входит в корень «преподава», изначально слово было образовано с помощью двух приставок: ПРЕ- и ПО-; запомнить можно таким образом: преподаватель = «тот, кто передает знания» («пере»))

3) беСсмысленный (анекдот) (приставка БЕС-, пишется буква «С», так как после стоит глухой согласный звук – С), раСчищать (приставка РАС-, пишется буква «С», так как после стоит глухой согласный звук – Ч), воСпламеняться (приставка ВОС-, пишется буква «С», так как после стоит глухой согласный звук – П)

4) прОобраз (= «образ будущего»/«образец»; пишется приставка ПРО-, так как слово не имеет значения «первоначальность, древность, отдалённость во времени»), разОбрать (приставка РАЗО- (= РАЗ-), пишется перед корнем, начинающимся со слияния согласных, в данном случае – «БР», приставки РАЗА не существует), прАродина (пишется приставка ПРА-, так как слово имеет значение «изначальный, древний»)

5) баталЬон (иноязычное слово, в корне которого перед гласной «О» пишется разделительный мягкий знак; запомнить), медвежЬя (в середине слова (не после приставки) перед йотированной гласной «Я» (Е/Ё/Ю, И) пишется разделительный мягкий знак), вЬющийся (в середине слова (не после приставки) перед йотированной гласной «Ю» (Я/Ё/Е, И) пишется разделительный мягкий знак)