Функции на Бельчонке —Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции на Бельчонке

Тема Бельчонок

Функции на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77790

Найдите все функции $f(x)$ такие, что для всех действительных $x$ и $y$ выполняется равенство

(3 3) 2 ( 2) f x + y = xf(x)+yf y

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами функциональное уравнение, поэтому давайте сначала попробуем подставить хорошие значения x и y. Что будет, если мы подставим x=y=0, x=0 и y=x, y=0?

Показать ответ и решение

Выполним подстановки $x =0$ и $y =0,$ получим:

3 2 3 2 f(0) =0,f(x + 0)= xf(x),f(0+ x)= xf(x )⇒

3 2 2 3 3 3 3 ⇒ f(x )= xf(x)= xf(x ) и f(x + y)= f(x)+ f(y).

Из этого следует, что $f(x+y)= f(x)+f(y).$

Если $y = −x,$ то $f(−x)= −f(x),$ т.е. $f−$ нечётная функция. Далее будем считать что аргумент больше $0.$ Тогда $x2f(x)=xf(x2),$ откуда $f(x2)= xf(x).$ Следовательно,

f((x+ 1)2)= (x+ 1)f(x+ 1)= (x+ 1)(f(x)+f(1))= xf(x)+ f(x)+xf(1)+ f(1).

Но с другой стороны,

f((x+1)2)=f(x2+ x+ x+1)= f(x2)+ f(x)+ f(x)+f(1).

Приравнивая эти выражения, мы получаем:

xf(x)+ f(x)+ xf(1)+ f(1)= xf(x)+ 2f(x)+ f(1).

f(x)= xf(1).

Т.е. $f(x)= αx.$ Очевидно, что все такие функции удовлетворяют условию задачи.

Ответ:

$f(x)= αx$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел