Многочлены на ОММО —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Многочлены на ОММО

Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Многочлены на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76296

Дан многочлен $F(x)= 1+2x +3x2+ 4x3 +...+ 100x99.$ Можно ли, переставив коэффициенты, получить многочлен $2 3 99 G (x)= g0+g1x+ g2x + g3x +...+g99x$ такой, что для всех натуральных чисел $k≥ 2$ разность $F(k)− G (k)$ не кратна $100?$

Показать ответ и решение

Заметим, что $F(1)= G(1),$ поскольку у них одинаковый набор коэффициентов. По рассуждениям, аналогичным рассуждениям из прошлой задачи, получаем, что $F(101)≡G (101) (mod 100).$ То есть при $k= 100$ разность $F(k)− G(k)$ будет всегда делиться на $100,$ что ведёт к отрицательному ответу.