Тема . Бельчонок
Тождественные преобразования и системы на Бельчонке
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела бельчонок
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74657

Найдите целую часть числа

---1---  ---1---     -----1----
√1 +√2-+ √3+ √4 +⋅⋅⋅+√623-+√624

Источники: Бельчонок-2022, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Гораздо удобнее работать с целочисленными знаменателями-> что нужно сделать, чтобы они стали именно такими? Попробуем оценить число А другим число так, чтобы нам было удобно оценивать их разность двумя способами. Тогда мы сможем прийти к оценке числа А!

Подсказка 3

А+В=24(почему?). Теперь мы можем оценить их разность, группируя соответствующие слагаемые.

Подсказка 4

Их разность меньше 1, а сумма равна 24. Осталось ли ль сделать соответствующие выводы)

Показать ответ и решение

Обозначим

    --1---- ---1---      ----1-----
A = √1+ √2 +√3-+ √4 + ⋅⋅⋅+ √623+ √624

Возьмём число

B = √--1√--+ √-1-√-+ ⋅⋅⋅+ √---1-√---
     2+  3    4+  5       624+  625

Число слагаемых одинаково, каждое слагаемое в A  больше соответствующего слагаемого в B,  поэтому A > B.  Избавимся от иррациональности в знаменателях:

A= √2-− √1-+√4 − √3+ ⋅⋅⋅+ √624− √623

B =√3-− √2-+ √5− √4+ ⋅⋅⋅+ √625− √624

Очевидно,       √ --- √-
A+ B =  625 − 1 =24.  Оценим A − B.

               (                )      (
A− B =√--1-√-−  √--1-√-− √--1√-- − ⋅⋅⋅−  √---1-√---−
        1+  2     2+  3   3 +  4         622+  623

− √---1-√---)− √---1-√---< √--1√--< 1
   623+  624    624+  625    1+  2

Подставим B = 24 − A :

A− 24+ A< 1,

отсюда A < 12,5.  Но A > B,  значит, A >12.  Следовательно, целая часть числа A  равна 12.

Ответ: 12

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!