Тригонометрия на Звезде —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на Звезде

Тема Звезда (только задачи по математике)

Тригонометрия на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только задачи по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны косинусы углов в градусах. Мы же знаем, что косинус — периодичная функция с периодом 360 градусов. Попробуем заметить что-нибудь, связанное с периодичностью косинуса, про аргументы двух соседних членов последовательности, то есть 10^n и 10^(n+1).

Подсказка 2

После того, как мы поняли, что из себя представляют а_2023 и а_2024, осталось преобразовать выражение с x по известным тригонометрическим формулам. В этот момент уже будет понятно, как искать наименьшее значение, ведь тригонометрические функции принимают ограниченные значения.

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74590

Решите систему уравнений

{ sin3x+ sin4y = 1, 3 5 cos x+ cos y = 1.

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наши выражения как-то подозрительно напоминают основное тригонометрическое тождество. Только вот у нас sin не складывается с cos, да и степени не те... Давайте хотя бы сделаем первое условие, для этого сложим два уравнения...

Подсказка 2

Имеем, что sin³x+sin⁴x+cos³y+cos⁵y = 2. С другой стороны, 2 = sin²x+cos²x+sin²y+cos²y. Как из этого получить интересное неравенство...

Подсказка 3

Т.к. sinⁿx ≤ sin²x и cosⁿx ≤ cos²x, при n ≥ 3, то 2 = sin³x+sin⁴x+cos³y+cos⁵y ≤ sin²x+sin²x+cos²y+cos²y = 2. Значит все неравенства обращаются в равенства. Решите получившуюся систему и радуйтесь жизни!

Показать ответ и решение

Сложим два уравнения системы, тем самым получим новое уравнение, являющееся следствием системы.

3 4 3 5 sin x+ sin y+ cos x+ cos y = 2

Воспользуемся ОТТ:

3 4 3 5 2 2 2 2 sin x +sin y +cosx +cos y = sin x+cos x+ sin y+ cos y

sin2x(sinx − 1)+ cos2x(cosx− 1)+sin2y(sin2y− 1)+cos2y(cos2y− 1)= 0

Квадраты неотрицательные, а все скобочки $≤ 0,$ тогда, чтобы сумма была = 0, каждое слагаемое должно быть равно 0. Имеем систему:

( ||| sin2 x(sinx − 1)= 0 |{ cos2x(cosx− 1)= 0 ||| sin2 y(sin2y− 1)= 0 |( cos2y(cos2y − 1)= 0

Решим для $x :$

Из первого уравнения возможны 2 случая:

1) $sinx= 0.$ Тогда из второго $cosx= 1 =⇒ x= 2πk,k∈ ℤ$

2) $sinx= 1.$ Тогда $cosx= 0 =⇒ x = π+ 2πn,n ∈ℤ 2$

Решим для $y :$

1) $siny = 0,$ тогда $2 cos y = 1 =⇒ cosy = ±1 =⇒ y = πm,m ∈ℤ$

2) $2 sin y = 1 =⇒ sin y = ±1,$ тогда $π cosy = 0,y = 2 + πt,t∈ ℤ$

И так как мы изначально получили следствие из исходной системы, надо не забыть проверить, какие серии корней подходят, а какие нет, подставив в изначальную систему все комбинации возможных значений $sinx,cosx,siny,cosy.$