Тема ИТМО (открытка)
Логарифмы на ИТМО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела итмо (открытка)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74570

Вася придумал новую операцию на множестве положительных чисел

      lnb
a ∗b= a

Найдите логарифм числа ((aab∗a)∗)(a(bb∗)b)  по основанию a∗ b.

Источники: ИТМО-2022, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Новая операция, придуманная Васей, конечно, прекрасна, но работать с ней неудобно, давайте несколько преобразуем её. Если сказать, что a = e^ln(a), тогда Васина операция примет вид a✱b = e^(ln(a)b). Что мы получим, если возьмем натуральный логарифм от данной операции?

Подсказка 2

ln(a✱b) = ln(a)ln(b). Такое обилие натуральных логарифмов явно намекает нам, что удобнее всего будет работать, если мы приведем наше выражение к новому основанию e.

Подсказка 3

Далее несколько раз воспользуемся свойствами логарифма и преобразуем произведения выражений под логарифмом в сумму логарифмов, а отношения - в разность.

Подсказка 4

В итоге должно получится ((ln(a) + ln(b))*(ln(a) + ln(b)) - ln(a)a - ln(b)b) / (ln(a)b). Попробуйте дойти от данного выражения до ответа путем несложных алгебраических преобразований.

Показать ответ и решение

Запишем операцию Васи в более удобном виде:

      lnb   lnalnb
a∗b= a  = e

Поэтому

ln(a∗b)= lna⋅lnb

Теперь нужно применить это для вычисления, попутно воспользовавшись свойством логарифмов

loga∗b (ab)∗(ab)-=
     (a∗ a)(b∗b)

  ln-((ab)∗(ab))−-ln-((a∗a)−-ln(b∗b))-
=           ln(a∗b)           =

= ln(ab)⋅ln-(ab)− lna⋅ln-a− lnb⋅ln-b
            lna⋅ln b

Обозначим x =lna  и y = lnb.  Тогда в числителе написано

(x+ y)(x+ y)− x2− y2 = 2xy,

а в знаменателе xy  . В результате дробь равна 2.

Ответ: 2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!