a) Это в точности неравенство Йенсена для частного случая весов

b) Рассмотрим функцию . Поскольку

то функция - выпукла. Следовательно, к ней применимо на любом интервале из луча неравенство, доказанное в пункте a).

Итак, пусть лежат в некотором интервале . Тогда к этому набору иксов и к применим неравенство, выведенное из неравенства Йенсена в пункте a):

уберем минусы

Далее, поскольку функция , очевидно, монотонно возрастает, то мы можем применить её к обеим частям неравенства и неравенство сохранится:

И получаем, что

Что и требовалось доказать.

c) Рассмотрим функцию .

Поэтому при , а значит при таких функция будет выпукла и можем применить к ней неравенство из пункта a) для :

Далее применяем формулу для суммы арифметической прогрессии:

А это, после домножения на есть в точности то, что и нужно было доказать.