Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — множество всех простых чисел, расположенных в некотором порядке. Может ли случиться так, что для всех натуральных число является натуральным?
Источники:
Подсказка 1
В задачах на делимость (а это по сути она и есть) часто выгодно рассмотреть какое-то красивое число. А поскольку у нас в задаче часто фигурируют простые, рассмотрим p_m = 2. Что тогда хорошего можно сказать про дробь?
Подсказка 2
Тогда, можно сказать, что число меньше 2, а значит равно 1, а значит, p_(m + 1) = p^2_(m + 2) + 2. А мы как-то использовали m? Может ли m быть сильно большим? Как можно ограничить m зная симметричность p_(i + 1) и p_i в нашем числе?
Подсказка 3
Если m > 1, то можно взять рассмотреть (2p_(m - 1) - p^2_(m + 1))/(2 + p_(m - 1)). Тогда, p_(m - 1) = p^2_(m + 1) + 2 = (p^2_(m + 2) + 2)^2 + 2. По какому модулю теперь удобно посмотреть, при наличии тут множественных квадратов?
Подсказка 4
Конечно, mod 3. Ведь тогда, если p_(m + 2) != 3, то p_(m + 1) кратен 3, а значит равен 3. Но тогда p_(m + 2) = 1. А если же p_(m + 2) = 3, то p_(m - 1) = 123. Значит, пришли к общему противоречию с тем, что m > 1, значит, m = 1. При этом, поняли, что mod 3 в этой задаче, как будто, играет важную роль. Давайте тогда , если уж все таки хотим делимость, рассмотрим такие p_k и p_k + 1, что их сумма кратна 3, и при этом они оба отличны от 3. Что это значит тогда для этих двух чисел? А для дроби?
Подсказка 5
Это значит, что остатки mod 3 у этих
Подсказка 6
Это числа, которые сравнимы с 2 mod 3, а после идет сама тройка. Но тогда, если после тройки стоит число = 2 mod 3, то после него идут только числа = 2 mod 3, а значит пришли к противоречию, так как числа = 1 mod 3 существуют. А значит, после 3 идут только числа = 1 mod 3, но тогда перед 3 стоит конечное число простых = 2 mod 3. А то, что таких бесконечно - остаётся вам в качестве упражнения! :)))
Предположим, что такое могло случиться. Тогда существует натуральное такое, что Значит число
является натуральным, откуда
Случай невозможен, так как тогда число
также является натуральным, откуда
Теперь если то что невозможно. Если же то
Значит,
Это невозможно. Следовательно,
Предположим теперь, что нашлись числа и с различными ненулевыми остатками при делении на 3, то есть
Поскольку число
является натуральным, то
Но тогда
Это невозможно, так как квадраты имеют остатки 0 или 1 при делении на 3. В итоге мы доказали, что числа с остатками 1 и 2 при делении на 3 не могут быть соседними.
Поскольку это означает, что после стоят несколько чисел с остатком 2 при делении на 3, затем где-то стоит число 3. Если после тройки стоит число с остатком 2 при делении на 3, то все числа далее будут с таким же остатком и в последовательности простых чисел не будет ни одного числа с остатком 1 при делении на 3 (такие есть, например, число 7).
Следовательно, после тройки стоит число с остатком 1 при делении на 3 и все числа за ним имеют такой же остаток. Но тогда до тройки стоит лишь конечное число простых чисел с остатком 2 при делении на 3.
Предположим, что простых чисел вида конечное число. Обозначим все такие числа через Число не делится на простые числа и даёт остаток 2 при делении на 3. Значит среди его простых делителей должно быть число вида — противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!