Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли утверждать, что если для рациональных чисел 
сумма
является рациональным числом, то 
Источники:
Подсказка 1
Давайте предположим, что это возможно, и обозначим нашу сумму за p. Первое, что бросается в глаза, это то, что √2*√3=√6, поэтому хочется отправить с√6 направо и возвести в квадрат. После возведения в квадрат из иррациональных чисел остается только √6, значит можно его выразить через остальные рациональные...
Подсказка 2
После преобразований мы получаем, что √6=(6c²+p²-2a²-3b²)/(2ab+2pc). Казалось бы победа, мы получили выражение иррационального числа через рациональные, что невозможно. Но ведь мы могли поделить на 0. Что делать, если 2ab+2pc=0?
Подсказка 3
Если ab+pc=0, то 6c²+p²=2a²+3b². Рассмотрим случай с≠0: подставим p=-ab/c в равенство 6c²+p²=2a²+3b². После тождественных преобразований получаем (3с²-a²)(2c²-b²)=0. Найдите здесь противоречие и рассмотрите случай с=0!
Обозначим 
Тогда 
. Возведем в квадрат
В случае 
или 
получаем, что левая часть равенства рациональна, а значит и правая тоже, то есть 
или 
. Если
имеет место случай 
, то 
В случае же 
(не умаляя общности 
) получаем
И так как 
, равенство возможно только в случае 
. И тогда также 
То есть если 
или 
, то требуемое
верно.
Пусть теперь 
. Преобразуем:
Равенство возможно только в случае, если справа рациональное число, то есть 
. Тогда получаем следующую
систему
Эта система имеет вид
По следствию теоремы Виета 
и 
являются корнями уравнения 
. Но у квадратного уравнения максимум 
корня, поэтому либо 
и 
, либо 
и 
.
В первом случае получаем 
, что невозможно, кроме разобранного случая 
Во втором случае 
, также невозможно, если 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
