Оценка. Выберем произвольные Рассмотрим все образованные этими четырьмя числами. Если таких хотя бы 2 (не нарушая общности, и ), то их сумма будет равна то есть будет делиться на — противоречие. И значит, каждые 4 числа образуют вместе не более одного Тогда всего чисел не более

Пример. Будем строить пример индукцией по Выберем Если уже построены то выберем а также добавим к ранее выбранным -шкам все выражения вида для Легко понять, что после построения будет построено ровно -шек. Предположим, что после построения нашлось выражение делящееся на для некоторых

Пусть , Тогда получаем, что выражение

делится на Посмотрим на это выражение по модулю Заметим, что при Тогда, заменив в выражении выше все при по данным правилам, мы получим новое выражение, равное сумме произведений нескольких -ых. При этом в каждом произведении будет не более -шек, а также индексы всех -шек будут меньше Заметим, что полученное выражение по модулю меньше (что следует из построения через предыдущие числа). Тогда новое выражение может делиться на только если оно равно Выберем в этом выражении имеющее наибольший индекс. Вынесем его за скобки из тех слагаемых, в которых оно есть. Если суммарный коэффициент перед ним не равен то «перебьет» все остальные слагаемые, а значит, наше выражение не будет равно То есть суммарный коэффициент перед должен быть равен При этом, если в коэффициенте снова выделить с наибольшим индексом, и не будет такого же с противоположным знаком, то по аналогичным соображениям коэффициент перед не будет равен Тогда обязаны сократиться между собой. То есть в коэффициенте перед останутся только единицы, чего опять же не может быть. Наконец, если рассмотреть в выражении все слагаемые, не содержащие и выбрать там c наибольшим индексом, то по аналогичным соображениям коэффициент перед ним должен быть равен

То есть мы доказали, что наше выражение имеет вид (где может быть равен ). При этом и Заметим, что в слагаемых со знаком минус один из индексов обязан быть равен Посмотрим, с каким слагаемым было в одной и той же -шке (до замены по модулю). Очевидно, что оно может быть в паре с (так как до замены по модулю эта слагаемые точно имели общий индекс, чего не может быть). Также не могло быть вместе с (эта слагаемые не изменялись, а сейчас имеют общий индекс ). Значит, изначально было в паре с Вспомнив, что слагаемое изначально было со знаком и один из его индексов был равен получаем, что и второй индекс ( или ) строго больше чего не может быть, так как был выбран как наибольший индекс после замены по модулю.

Таким образом, мы показали, что очередной шаг нашего построения корректен. Значит, после построения мы целиком построим требуемый пример.