Пусть Докажем, что подойдет набор гирь с весами

Если взять по одной гире каждого веса, сумма весов равна

Заметим, что

Тогда любой способ набрать этими гирями суммарный вес повзоляет представить число дающее остаток по модулю как сумму нескольких слагаемых с остатком Следовательно, можно набрать некторое число сравнимое с по модулю как сумму нескольких слагаемых вида

Будем в такой сумме заменять две одинаковые степени двойки на одну более крупную, пока это возможно. В результате получится, что набрано как сумма различных степеней двойки. Но это можно сделать единственным способом: сложив все меньшие степени двойки, этот соответствует сумме

Остается лишь добавить, что замена одной степени двойки на две меньших (обратная приведённым операциям) дает замену на что увеличивает сумму. Значит, наш способ единственен.