Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано бесконечное множество натуральных чисел Известно, что для любых двух различных чисел в множестве также содержится хотя бы одно из чисел и Докажите, что в содержится хотя бы одно составное число.
Решение 1.
Предположим, что множество состоит только из простых чисел. Тогда все числа из множества нечётные(так как любое число вида
составное при ). Возьмём в множестве два произвольных числа Если даёт остаток при делении на то
также даёт остаток Тогда делится на 3 и по нашему предположению не может принадлежать множеству
Значит, в этом случае множеству принадлежит число Аналогично если даёт остаток при делении на
то также даёт остаток составное и тогда в этом случае множество должно содержать число
Если множество содержит хотя бы одно простое число дающее остаток при делении на то в множестве как мы
установили, содержится число вида дающее остаток Тогда число тоже принадлежит Заметим, что это число
даёт при делении на тот же остаток, что и число Но это число делится на по малой теореме Ферма, значит, оно
составное.
Аналогично, если простое число даёт остаток при делении на то в множестве содержится число которое
по тем же причинам делится на
Решение 2.
Предположим противное. Как и в первом решении установим, что если (mod ) принадлежит то также
принадлежит В частности, в есть числа, сравнимые как с так и с по модулю
Рассмотрим простые числа и из Тогда в содержится простое число
Следовательно, делится на Пусть Тогда число
делится на поскольку по малой теореме Ферма и, значит,
Таким образом, число принадлежит и является составным. Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!